Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Но вернемся к азимутальным проекциям. Живительно, что они не называются просто «планарными» или «плоскими». Откуда взялось слово «азимутальный»?

Для данной точки А земной поверхности и других двух точек, В и С , азимут, взятый из точки В на точку С , — это угол, образованный кривыми наименьшей длины, соединяющими точки А и В и А и С . Этими кривыми наименьшей длины, как известно, будут дуги больших кругов сферы. Иными словами, азимут — это угол, на который наблюдатель, находящийся в точке А и смотрящий в точку В , должен повернуться, чтобы увидеть точку С , как показано на рисунке.

Понятие азимута возникло в астрономии и навигации и обозначает угол, или длину дуги математического горизонта, измеренный от точки севера (или точки юга) до вертикальной проекции небесного тела на горизонт наблюдателя. Следовательно, по своей сути азимутальные проекции — это проекции, сохраняющие азимут, взятый из фиксированной точки отсчета, которой является центр карты. Как следствие, эти проекции сохраняют направления до других произвольных точек, но необязательно сохраняют расстояния. Проекции, которые мы хотели назвать «планарными», называются азимутальными потому, что получаются путем прямой проекции на касательную плоскость земного шара (также можно рассмотреть вариант с секущей плоскостью).

Все азимутальные проекции, центры которых совпадают с Северным или Южным полюсом, обладают следующими свойствами.

1. Меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми (если рассматривается сетка меридианов, отстоящих друг от друга на равные углы), проходящими через центр карты.

2. Параллели изображаются концентрическими окружностями с центром в точке касания. Следовательно, различные азимутальные проекции определяются тем, как распределяются окружности параллелей.

Сравнение расположения параллелей в полярных разновидностях различных азимутальных проекций.

В этой проекции радиальные прямые, исходящие из центра карты, являются отображениями дуг больших кругов, проходящих через точку касания земного шара и плоскости. Однако в общем случае расстояния от этой точки не сохраняются (за исключением азимутальной равнопромежуточной проекции). Остальные геодезические линии, не проходящие через точку касания, как правило, также не сохраняются, за исключением рассматриваемого частного случая.

* * *

КАРТЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ НА МЕККУ

Мусульмане должны молиться пять раз в день, обратившись в сторону Каабы — священного куба, расположенного в Мекке и символизирующего дом Бога. Мечети также должны располагаться соответствующим образом. Но как мусульманин или строитель мечети в любой точке мира может узнать, в каком направлении находится Мекка? Можно построить карту в стереографической проекции, в центре которой будет изображена Мекка. Так как эта проекция является азимутальной и конформной, на карте можно будет провести прямую между мечетью и Меккой, затем вычислить угол между этой прямой и меридианом. До начала молитвы мусульманин должен будет встать лицом к северу, а затем повернуться на этот угол. Один из недостатков карты заключается в том, что меридианы изображены кривыми линиями, а это усложняет вычисление угла.

Возможен и другой вариант: можно рассмотреть ретроазимутальные проекции, то есть проекции, сохраняющие направление из любой точки Земли в фиксированную точку (но не наоборот, как в случае с азимутальными проекциями). В ретроазимутальной проекции, предложенной британским картографом Джеймсом Крейгом в 1910 году, меридианы изображаются параллельными равномерно распределенными прямыми. Карта в этой проекции, в центре которой будет изображена Мекка, прекрасно подойдет для определения киблы — направления на Мекку.

* * *

Искажения, вызываемые этим классом проекций (искажения геодезических линий, площадей, углов и форм), вблизи точки касания (или вблизи круга, образованного сечением сферы плоскостью) малы и увеличиваются по мере удаления от нее. При этом изображение близко к виду Земли из космоса. Классические геометрические проекции этого класса — ортографическая, гномоническая и стереографическая проекции. Другими, более сложными, являются азимутальная равнопромежуточная и равновеликая азимутальная проекция Ламберта. Такие карты используются в океанографии, на кораблях дальнего плавания, в туризме и в военном деле, так как в их центре изображается конкретное место, а геодезические линии, проходящие через него, сохраняются. Искажения на этих картах слишком велики, чтобы их можно было использовать в качестве обычных географических карт.