Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Представим Землю как сферу единичного радиуса. Рассмотрим плоскость проекции Т , которая касается сферы (допустим, точка касания расположена в Северном полушарии). На эту плоскость мы спроецируем часть полусферы, при этом центр проекции будет совпадать с центром сферы. Пусть А — точка сферы с широтой φ, D — диск достаточно малого радиуса r , который касается сферы в точке А .

Построим проекцию этого диска на плоскость проекции Т в два этапа. На первом этапе диск D преобразуется в диск D' , который лежит в плоскости, параллельной D . Центром этого диска является точка А' — отображение точки А , полученное с помощью гномонической проекции. В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса), как вы можете видеть на следующем рисунке, радиус r' диска D' удовлетворяет соотношению

По правилам элементарной тригонометрии

sin φ = 1/| OA' |

Имеем:

Первый этап построения гномонической проекции.

Искомым отображением будет проекция диска D' на касательную плоскость Т — уже не диск, а эллипс. В направлении «запад — восток» диск D' пересекает плоскость Т , следовательно, проекция не изменит его размеров, и длина соответствующей полуоси эллипса будет равна уже вычисленному радиусу:

r' = r /sin φ

Итак, искажение вдоль параллели будет равно:

λ = 1/sin φ

Посмотрим, как изменится диск в направлении «север — юг», и рассчитаем искажение вдоль меридиана. Так как радиус r' очень мал по сравнению с расстоянием между А' и центром проекции О , угол А'ВС (см. след, рисунок) будет очень близок к прямому углу. Так как r достаточно мал, этот угол можно считать прямым. Как следствие, проекцией отрезка длиной r' , лежащего в направлении «север — юг», будет отрезок на плоскости Т длиной r" :

r" = r' /sin φ = r /sin 2 φ

согласно правилам элементарной тригонометрии. Искажение вдоль меридиана будет равно:

Второй этап построения гномонической проекции.

Как следствие, отображением D" окружности D радиуса r в центральной проекции будет эллипс, а длины его полуосей равны:

r' = r /sin φ и r" = r /sin 2 φ

Можно сделать вывод: центральная проекция не сохраняет площади, поскольку, как мы уже отмечали, искажение вдоль меридианов

μ = 1/sin 2 φ

должно быть обратным искажению вдоль параллелей

λ = 1/sin φ

Это соотношение не выполняется:

Гномоническая проекция также не сохраняет углы, поскольку искажение вдоль меридианов и параллелей отличается.

В зависимости от того, какая вспомогательная поверхность используется в проекции: плоскость, цилиндр или конус — геометрические проекции делятся на азимутальные, цилиндрические (о них мы рассказали в прошлой главе) и конические. Использование цилиндра и конуса обусловлено тем, что эти поверхности являются развертывающимися, то есть их можно развернуть на плоской поверхности без изменения метрических свойств.

Проекции делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости от того, какая поверхность используется в качестве вспомогательной: плоскость, цилиндр или конус.

Помимо этих основных поверхностей, могут использовать и другие, необязательно развертывающиеся: так, в проекции «броненосец» (Эрвин Райш, 1943) сфера проецируется на поверхность тора (напомним, что тор — поверхность в форме бублика), после чего строится ее ортогональная проекция на плоскость.

Хотя алгоритмические проекции описываются математическими формулами и не имеют геометрической интерпретации, они, как правило, также делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости от своих свойств.