Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Метафизика бесконечного и способность Эйлера объяснять сделали «Введение в анализ бесконечно малых» одной из самых красивых книг в истории математики. Чуть позже мы расскажем, как эта прекрасная работа повлияла на один из фундаментальных трудов по эстетике — книгу «Критика способности суждения» немецкого философа Иммануила Канта, в частности эстетическую категорию возвышенного.

Чтобы ввести читателя в курс дела, вкратце расскажем о том, как понимал бесконечность Эйлер и что означают слова «бесконечно малые» в заглавии его книги. Эйлер не дал никакого определения бесконечно малым и бесконечно большим величинам, на которых основывались все понятия анализа в XVII, XVIII и большей части XIX века, а работал с ними на интуитивном уровне. Целью математика было обучить читателя работе с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, сформировать у него некоторое интуитивное представление об их особенностях.

* * *

«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ», ОДИН ИЗ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ

«Введение в анализ бесконечно малых» не простая книга; она сыграла основополагающую роль в создании математического анализа. Историк математики Карл Бойер в своей статье о наиболее выдающихся математических текстах всех времен, написанной в 1969 году, поставил «Введение в анализ бесконечно малых» в один ряд с «Началами» Евклида и «Алгеброй» Аль-Хорезми: «Нетрудно видеть, что трактатом, оказавшим наибольшее влияние на математику древности (и на математику всех эпох), стали «Начала» Евклида. Определить, какой из средневековых трудов стал наиболее влиятельным, не так просто. Одна из подходящих кандидатур — «Алгебра» Аль-Хорезми. Можно ли выделить современный текст, сопоставимый с ними по авторитету и влиянию, которое они оказали? Да, можно выделить текст, который «стоял на плечах гигантов» — трудов барокко и Просвещения — и повлиял практически на всех последующих авторов. Это «Введение в анализ бесконечно малых» Эйлера. Эта книга стала для математики тем же, чем стали «Начала» Евклида для синтетической геометрии древних греков, а «Алгебра» Аль-Хорезми — для элементарной алгебры. Понятия функции и бесконечных процессов зародились в XVII веке, однако лишь с выходом «Введения в анализ бесконечно малых» они стали полноправными членами математического триумвирата, образованного геометрией, алгеброй и анализом».

Обложка первого издания «Введения в анализ бесконечно малых» Эйлера, опубликованного в 1748 году.

* * *

Краткое описание бесконечно малых величин в соответствии с тем, как их представлял Эйлер, может звучать так: бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является строго равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она является бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить выражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной, когда мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если N — бесконечно большая величина, то выполняется достаточно необычное равенство: N + 1 = N . А бесконечно малое число w — это число, не равное нулю, однако сколько бы мы ни складывали его с самим собой, полученная сумма не будет больше 1, 1/2 или любого другого положительного числа. Чтобы получить 1 из бесконечно малого числа w , потребуется бесконечно большое число N: N · w = 1.

«Будет непросто найти в истории математики другой труд, который оставлял бы у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот», — писал Эрнест Уильям Хобсон о «Введении в анализ бесконечно малых». Возможно, с Хобсоном согласится любой, кто прочел книгу Эйлера. Такое восприятие вызвано тем, что «Введение в анализ бесконечно малых» обладает огромной способностью вызывать эмоции. Гениальный Эйлер создал текст, преисполненный красоты, который оказывает неизгладимое впечатление на всех, кто его читает.

Как мы уже говорили, Эйлер в своей книге работает с бесконечно малыми величинами интуитивно понятным образом — именно в этом и заключается его гениальность. Бесконечно малые величины опасны, и небрежная работа с ними может закончиться катастрофой. Для греков бесконечность была сродни ужасному чудовищу, от которого следовало спасаться бегством. Эйлер не сбежал: напротив, он приблизился к чудовищу, потрепал его за холку и надел на него ярмо, чтобы вспахать доселе бесплодную землю. В руках Эйлера бесконечность оказалась удивительно податливой. А учитывая, какой страх внушала она всем математикам, эта податливость потрясает до дрожи. Именно в этой способности потрясать до дрожи и заключается эстетическая ценность труда Эйлера. Немецкий философ Теодор Адорно утверждал, что эстетическая ценность объекта заключается именно в его способности вызывать потрясение и в некотором роде испуг. Эта идея прозвучала на знаменитой конференции под названием «Красота занятий математикой», которую для всех желающих провел Серж Ланг в парижском Дворце открытий в начале 1980-х. Ланг говорил о «дрожи в позвоночнике», которую вызывают красивейшие математические рассуждения.