Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Основная идея Эйлера заключалась в том, чтобы использовать для вычисления некоторых бесконечных сумм два представления одной и той же функции: одно в виде произведения, другое — в форме ряда. В представленном выше случае Эйлер с помощью функции синуса нашел сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел. Применив другие функции, Эйлер во «Введении в анализ бесконечно малых» с помощью аналогичного метода вычислил множество сумм бесконечных рядов, в частности:

В этой сумме с противоположными знаками записаны числа, обратные кубам нечетных чисел, за исключением кратных 3.

Однако общность идеи Эйлера не ограничивается одной лишь заменой функции синуса на другие. В его методе рассматривается выражение

Число, на которое последовательно умножается z 2, связывается с суммой чисел, на которые умножается z 2в левой части равенства. В слегка видоизмененном виде идея Эйлера становится еще более плодотворной. Достаточно обратить внимание на числа, которые умножаются на остальные степени переменной в правой части равенства и выразить их через коэффициенты при z 2в левой части равенства (см. врезку на следующей странице). Применив эту идею, Эйлер вычислил не только сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел, но и чисел, обратных четвертым, шестым и восьмым степеням:

Ему удалось дойти до 26-й степени:

Надеемся, что читатель смог оценить всю общность рассуждений Эйлера и, как следствие, лучше понять, что хотел сказать Харди, когда писал об общности математической идеи: именно общностью, помимо гениальности, отличается рассмотренная идея Эйлера.

Согласно Харди, другое неотъемлемое свойство, наделяющее математическую идею эстетической ценностью, — это глубина. «Второе свойство, которое я потребовал от значительной идеи, — ее глубина. Определить его еще труднее. Оно каким-то образом связано с трудностью; "более глубокие" идеи обычно труднее постичь, но вместе с тем это не одно и то же. Создается впечатление, что математические идеи "стратифицированы", то есть расположены как бы слоями, идеи в каждом слое связаны целым комплексом отношений между собой и с идеями, лежащими в верхних и нижних слоях. Чем ниже слой, тем глубже (и, как правило, труднее) идея».

* * *

ЭЙЛЕР И БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

Эйлер уточнил свою исходную идею следующим образом. Вернемся к произведению

(1 — az 2)·(1 — bz 2)·(1 — cz 2)·… = 1 — Az 2+ Bz 4- Cz 6+…

Теперь рассмотрим число 8, на которое умножается z 4. Нетрудно видеть, что это число В образуется попарным умножением с последующим сложением чисел а, Ь, скоторые умножаются на z 2в левой части равенства: B= ab+ ac+ bc+ …

Таким образом, если мы запишем Р = а+ Ь+ с+… и Q = а 2+ Ь 2+ с 2+ …. путем простых подсчетов имеем: Р= Aи Q= A· P— 2· B.

Если мы вновь рассмотрим два разложения для функции синуса:

и примем во внимание, что в этом случае А = 1/6, B = 1/120 и, как мы уже вычислили, Р = π 2/6, получим значение суммы чисел, обратных четвертым степеням натуральных чисел: 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + … = π4/90.

Нечто подобное можно выполнить для z 6и последующих степеней. Благодаря этому Эйлер вычислил суммы чисел, обратных четным степеням натуральных чисел, начиная от второй и заканчивая двадцать шестой. Несколько лет спустя Эйлер обнаружил общую формулу суммы чисел, обратных произвольной четной степени натуральных чисел. О сумме чисел, обратных нечетным степеням натуральных чисел, ничего не известно и поныне. Мы знаем лишь, что первые несколько подобных сумм являются иррациональными числами.

* * *

И вновь суммы Эйлера помогут нам понять, что Харди имел в виду, когда говорил о «глубине» математических идей. Эйлер связал математические понятия из разных областей. В методе Эйлера скрывается понятие бесконечности, принадлежащее, можно сказать, к метафизике. Этот метод относится и к арифметике, так как в его задаче рассматриваются натуральные числа — требуется сложить квадраты чисел, обратных им. При вычислении суммы на сцену выходит геометрия, так как значение суммы выражается с помощью квадрата числа π , описывающего геометрию окружности. Наконец, весь метод Эйлера вращается вокруг представления функции в виде бесконечной суммы и бесконечного произведения — эти методы относятся к математическому анализу. И все это богатство взаимосвязей между столь разными «стратами» проявилось в одной идее Эйлера, которая на первый взгляд кажется простой. Именно это имел в виду Харди, когда говорил о глубине идеи: он рассуждал о ее способности неизбежно и плодотворно самым блестящим образом связывать между собой разные математические «страты».