Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Обложка английского издания «Апологии математика».

Страсть Харди к математике в итоге поглотила его. В конце жизни, когда у него уже не было сил заниматься математикой, он чувствовал себя угнетенным и попытался покончить жизнь самоубийством. Именно на этом последнем этапе своей жизни, прожив шесть десятилетий, он создал «Апологию математика», полную горечи, которую он чувствовал. «"Апология математика", если читать ее с тем вниманием к тексту, которое она заслуживает, — писал в предисловии Чарльз Сноу, — книга, пронизанная неизбывной печалью. Да, она блещет остроумием и игрой ума, да, ее все еще отличает кристальная ясность и искренность, да, это завещание художника-творца.

И вместе с тем „Апология математика" — это стоически сдержанный сокрушенный плач по творческим силам, которые некогда были и никогда не вернутся снова».

Сам Харди подтверждает это в первых строках своего эссе: «Писать о математике — печальное занятие для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики.

Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают аналогичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного, чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняющим. Изложение чужих результатов, критика, оценка — работа для умов второго сорта». Он продолжает: «Но если я теперь сижу и пишу о математике, а не занимаюсь собственно математикой, то это — признание в собственной слабости, за которую молодые и более сильные математики с полным основанием могут презирать или жалеть меня. Я пишу о математике потому, что, подобно любому другому математику после шестидесяти, я не обладаю более свежестью ума, энергией и терпением, чтобы успешно выполнять свою непосредственную работу».

Цель этого раздела — описать свойства математики, которые наделяют ее эстетической ценностью. Во-первых, напомним, что математик создает образы из идей. Харди писал в «Апологии математика»: «Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически».

Таким образом, чтобы достичь поставленной цели, мы должны определить, какие основные свойства наделяют математические идеи эстетической ценностью. Начнем с того, что выделим два основных аспекта, внутренне присущих математическим идеям и способных перевести их в эстетическое измерение. Эти аспекты — общность и глубина.

Пример из Эйлера как отправная точка

Проиллюстрируем рассуждения Харди об этих свойствах математических идей на не слишком сложном примере, чтобы читатель, не обладающий обширными знаниями математики, мог понять его. При этом наш пример достаточно сложен, чтобы адекватно проиллюстрировать все рассуждения Харди об эстетической ценности математических идей и связать их с философскими рассуждениями об эстетике, принадлежащими другим авторам. Выбранный нами пример показывает, как Эйлер вычислил сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел, в своей книге «Введение в анализ бесконечно малых» ( Introductio in analysin infinitorum ). Эйлер вычислил следующую сумму:

Заметьте, что знаменатели этих дробей — квадраты натуральных чисел, а многоточие означает, что число слагаемых бесконечно велико. Математики называют сумму бесконечного числа слагаемых рядом. Сумма ряда — это число, к которому мы приближаемся по мере увеличения числа слагаемых так, что разность между этим числом и суммой слагаемых уменьшается с увеличением их количества.

Представленный выше бесконечный ряд содержит некоторый контекст, о котором будет полезно рассказать.

История этого ряда такова. В марте 1672 года юный Лейбниц, которому было двадцать с небольшим, прибыл в Париж. Он хотел улучшить свое математическое образование и углубить знания, которые на тот момент были весьма скудными. Спустя несколько месяцев Лейбниц придумал хитроумный метод вычисления сумм бесконечных рядов. Его метод заключался в записи слагаемых в виде разности с последовательным сокращением членов. Ввиду врожденного оптимизма и недостатка математических знаний Лейбниц посчитал, что открытый им способ позволяет найти сумму произвольного ряда. Не будем забывать, что, по мнению Лейбница, мы жили в лучшем из миров, причем он произнес эти слова вскоре после окончания Тридцатилетней войны.