Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

* * *

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ

Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через ри qквадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m 2, q = ( m+ 1) 2, то:

p· q+ p+ q= m 2·( m+ 1) 2+ m 2+ ( m+ 1) 2= m 4+ 2· m 3+ 4· m 2+ 2· m+ 1 = ( m 2 + m+ 1) 2.

В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p· q + p+ q обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 7 2. Две остальные величины будут таковы: 4· n+ 4 + n= 5· n + 4 и 9· n+ 9 + n= 10· n+ 9. Таким образом, нужно найти число nтакое, что и 10· n+ 9, и 5· n+ 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, rи k, определяемые уравнениями r 2 = 10· n+ 9 и k 2 = 5· n+ 4. Имеем

r 2— k 2= 10· n+ 9–5· n— 4 = 5· n+ 5,

что можно записать как ( r+ k)·( r— k) = 5·( n+ 1). Таким образом, r + k = 5 и r— k = n+ 1. Выразив rи kиз этих равенств, получим: r = ( n/2) + 3 и k = 2 — ( n/2). Подставив значение rв уравнение r 2 = 10· n+ 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени ( n 2/4) = 7· n = 0. Его решением будет n = 28.

* * *

Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p · q + p + q, p · n + p = n и q · n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р · q + q = 49 = 7 2, р · n + р + n = 289 = 17 2, q · n + q + n = 144 = 12 2(см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m 2= 2· n 2. Как вы уже знаете, Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали, то √2 было бы рациональным числом.

Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отношение к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа р, q, r , которые были бы решениями уравнения р 2 + q 2= r 2. Согласно теореме Пифагора, точнее обратной ей теореме, такие числа р, q, r являются сторонами прямоугольного треугольника. Тройки чисел, удовлетворяющих этому уравнению, стали называться пифагоровыми тройками. В книге X «Начал» Евклида приведено общее решение этой задачи: для произвольных натуральных чисел m, n и k

p = k ·( m 2— n 2), q = 2· k · m · n и r = k ·( m 2+ n 2)

образуют пифагорову тройку, и все пифагоровы тройки имеют подобный вид. Например, приняв m = 3, n = 1 и k = 4, имеем р = 32, q = 24 и r = 40, которые действительно удовлетворяют равенству р 2 + q 2= r 2.

Среди уравнений, рассмотренных Диофантом в «Арифметике», было уравнение, описывающее пифагоровы тройки. Диофант также решил уравнение р 2 + q 2= r 2, добавив к нему множество дополнительных условий. Например, он решил задачу о нахождении сторон прямоугольного треугольника, периметр которого является кубом, а сумма площади и гипотенузы — квадратом. Диофант нашел следующее решение этой задачи: длина гипотенузы r равнялась 629/50, длины катетов р и q — 2 и 621/50. Периметр треугольника равнялся 2 + 621/50 + 629/50 = 1350/50 = 27 = 3 3, сумма площади и гипотенузы — (621/50)·2/2 + 629/50 = 1250/50 = 25 = 5 2(см. врезку на предыдущей странице).

* * *

ЕЩЕ ОДНО ДИ0ФАНТ0В0 УРАВНЕНИЕ

Последняя задача, описанная на этой странице, приведена в «Арифметике» Диофанта в книге VI под номером 17. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он ввел новую переменную n— площадь треугольника. Тогда ( р· q)/2 = n, то есть р· q = 2· n. Далее Диофант принял р = 2 и q = n. Сумма площади и длины гипотенузы треугольника равняется n+ r, периметр треугольника — 2 + n+ r. Так как число n+ rдолжно быть квадратом, нужно найти такой квадрат, который при увеличении на 2 был бы кубом. Тогда Диофант обозначил длину стороны квадрата через m+ 1, длину стороны куба — через m— 1. Теперь нужно найти число mтакое, что ( m+ 1) 2+ 2 = ( m -1) 3. Иными словами, m 2+ 2· m+ 3 = m 3— 3· m 2+ 3· m— 1, или, что аналогично, 4· m 2+ 4 = m 3+ m. Отсюда следует, что 4·( m 2+ 1) = m·( m 2+ 1), следовательно, m = 4. Таким образом, имеем n + r = 5 2 = 25. Так как треугольник со сторонами р, q и rдолжен быть прямоугольным, имеем: 4 + n 2= r 2. Подставив в это уравнение n = 25 — r, получим 4 + (25 — r) 2 = r 2. Раскрыв скобки и упростив полученное выражение, имеем: 629 — 50· r = 0. Иными словами, rравно 629/50, следовательно, nи qравны 621/50.