Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

С помощью окружностей Форда также можно получить оптимальное значение этой константы, описываемое теоремой Гурвица. В самом деле, на верхнем рисунке на стр. 50, помимо окружностей Форда, представлены и другие фигуры — криволинейные треугольники, заключенные между любыми тремя касательными окружностями. Эти треугольники также обладают очень важными свойствами. Так, первая координата всех трех вершин подобных треугольников является рациональным числом. Рассмотрим криволинейный треугольник, образованный касательными окружностями Форда, которые соответствуют дробям p / q, p 2 / q 2и р 3 / q 3. Обозначим вершины этого треугольника через А, В и С . Пусть А 1 — первая координата вершины А, В 1 — первая координата вершины В, С 1 — первая координата вершины С . Нетрудно видеть, что

Так как первые координаты вершин треугольника — рациональные числа, прямая, проведенная через точку, соответствующую иррациональному числу а на числовой прямой, пересечет не только бесконечное множество окружностей Форда, но и бесконечное число криволинейных треугольников. Если большая из трех окружностей, образующих криволинейный треугольник, расположена справа, то в зависимости от значений координат А и В 1 (в зависимости от того, какая из них больше) эти треугольники будут иметь один из двух различных видов, как показано на рисунках.

Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а , пересекает криволинейный треугольник первого вида (при А 1 < B 1 см. рисунок выше), разность между а и p 2 / q 2 будет строго меньше, чем 1/(√5· q 2 2). Всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а , пересекает криволинейный треугольник второго вида (при A 1 > B 1 см. следующий рисунок), разность между а и р 3 / q 3 будет строго меньше, чем 1/(√5· q 2 3). В любом случае пересечения прямой, соответствующей иррациональному числу а , и сторон криволинейных треугольников определят бесконечное множество дробей p / q таких, что |а — р/q| < 1/(√5· q 2). Иными словами, последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.

Хулита , или диофантово уравнение p 2+ q 2+ r 2= 3pqr

В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р 2+ q 2+ r 2= 3· р · q · r , — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».

Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как правило, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, которые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно и то же). Эти уравнения получили свое название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей» [7] Перевод С. Н. Боброва . — Примеч. ред . . Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года. Предположительно, он жил в II–III веках.

Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них — «Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древнегреческом и еще четыре — в переводе на арабский.

Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака.