Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Становится очевидным, что одни знаменатели подходят для приближенных значений иррациональных чисел лучше других. Вопрос заключается уже не в том, как найти точное приближение иррационального числа дробью, а как найти точное приближение дробью с правильно выбранным знаменателем.

С учетом этого немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (женатый на сестре композитора Феликса Мендельсона) в 1842 году показал, что иррациональное число всегда можно представить в виде дроби так, что ошибка будет меньше величины, обратной квадрату знаменателя дроби.

Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле(1805–1859), после смерти Гауссасменивший его на посту главы кафедры в Гёттингене в 1855 году.

Доказательство этого утверждения элементарно и основано на «принципе ящиков», позднее названном в честь Дирихле. Принцип Дирихле представляет собой простое отражение здравого смысла: если мы хотим поместить определенное число голубей в ящики, при этом голубей больше, чем ящиков, то в конечном итоге в одном из ящиков окажется больше одного голубя. Принцип Дирихле полезен при доказательстве определенных математических результатов, среди которых — теорема Дирихле о рациональном приближении. Эта теорема звучит так: для данного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p / q таких, что | a — p / q | < 1/ q 2. Доказательство этой теоремы приведено на следующей странице. Этот результат существенно точнее, чем тот, о котором мы говорили выше, так как с увеличением q число 1/ q 2уменьшается намного быстрее, чем 1/(2· q ). Результат Дирихле нельзя улучшить относительно второй степени 1/ q . Это тесно связано с разделением иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные.

Рассмотрим √2: это иррациональное число, однако его можно достаточно просто описать последовательностью целых чисел (…, —6, —5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…)» так как является решением уравнения с целыми коэффициентами х 2 —2 = 0. Числа, которые представляют собой решения уравнения с целыми коэффициентами (вне зависимости от степени уравнения), называются алгебраическими.

* * *

ДИРИХЛЕ И «ПРИНЦИП ЯЩИКОВ»

Доказательство принципа Дирихле выглядит следующим образом. Рассмотрим произвольное иррациональное число аи выберем некоторое натуральное число N. Теперь рассмотрим числа а, 2· а, 3· а…, N· аи ( N+ 1)· а. Этот список содержит N+ 1 число. Для каждого из них (обозначим их в общем виде k· а) найдется натуральное число р kтакое, что разность k· а— р kбудет лежать на интервале от 0 до 1. К примеру, если а = √5 = 2,236…, то 2· а = 4,472… и р 2будет равно 4.3· а = 6,708…, р 3 будет равно 6 и так далее. Теперь расположим числа от 0 до 1 в Nящиков: в первом ящике окажутся числа от 0 до 1/ N, во втором — от 1/ Nи 2/ Nи так далее. В последнем ящике окажутся числа от ( N— 1)/ Nдо 1. Так как наш список чисел k· а— р k, k= 1, …, N+ 1 содержит N+ 1 число, лежащее на интервале от 0 до 1, и мы расположили числа от 0 до 1 в N разных ящиках, то, согласно принципу Дирихле, в одном из этих ящиков будет больше одного числа. Допустим, что числа k· а— р kи n· а— р n находятся в одном ящике. Очевидно, что разница между двумя числами в одном ящике меньше 1/ N. Отсюда следует, что | k· а— р k— ( n· а— р n)| < 1/ N. Если теперь мы введем обозначения q = k— nи р = р k— р n, то получим: | q· а— р| < 1/ N, или | а— p/ q| < 1/( q· N). Так как и k, и n меньше N + 1, получим, что qменьше N. Учитывая, что это число можно считать положительным, имеем | а— p/ q| < 1/ q 2. Так как число а иррационально, а N— произвольное натуральное число, неравенство | а— p/ q| < 1/( q· N) гарантирует, что мы можем найти бесконечно много различных дробей вида p/ q, удовлетворяющих неравенству | а— p/ q| < 1/ q 2.