Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Первые построения с касательными окружностями возникают в случае, когда исходными элементами задачи являются три окружности. В частности, если три данные окружности касаются, задача имеет два решения: в одном из них построенная окружность будет располагаться внутри, в другом — снаружи.

Задача Аполлонияв случае, когда исходными тремя фигурами являются окружности (слева), имеет два решения (справа).

В самом общем случае, когда три данные окружности не касаются друг друга, задача имеет восемь разных решений.

Для трех данных окружностей, не касающихся друг друга (слева), задача Аполлонияимеет восемь решений (на рисунке в центре представлены два из них, на рисунке справа — третье).

Из множества вариантов расположения касательных окружностей рассмотрим один, особенно простой и элегантный. Окружности, расположенные таким образом, называются окружностями Форда и строятся по следующим правилам. Отметим на прямой линии значения дробей (или рациональные числа — так мы, математики, любим называть дроби), как показано на иллюстрации.

Все дроби вида р / q , которые мы рассмотрим, являются несократимыми, то есть р и q не имеют общих делителей, при этом q — положительное число. К примеру, мы будем рассматривать не дробь 5/15, а эквивалентную ей несократимую дробь 1/3. В точках, соответствующих каждой дроби p / q , мы поместим окружность радиуса 1/(2 q 2), которая будет касаться прямой.

Если мы будем использовать привычную систему декартовых координат для обозначения точек плоскости (читатель должен был познакомиться с декартовыми координатами в средней школе), то множество окружностей Форда будет образовано всеми окружностями с центром в точках ( р / q , 1/(2 q 2)) и радиусом 1/(2 q 2).

Окружности Форда имеют немало удивительных свойств. Путем несложных расчетов можно показать, что две произвольные окружности Форда либо не пересекаются, либо касаются, как показано на двух следующих иллюстрациях.

Окружности Форда, соответствующие дробям на интервале от 0 до 1, знаменатель которых меньше или равен 7. Так, изображенные на иллюстрации окружности соответствуют следующим дробям: 0, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1.

Аналогичные расчеты показывают, что окружности Форда, соответствующие дробям p / q и Р / Q , касаются, если числа р · Q и Р · q отличаются на единицу; верно и обратное.

Еще один фрагмент окружностей Форда. Изображенные на рисунке окружности соответствуют дробям между 1/2 и 1 со знаменателем, меньшим либо равным 11.

Также можно относительно просто доказать, что если окружности, соответствующие дробям p / q и Р / Q , касаются, то окружности Форда, соответствующие дробям

будут касаться окружности, соответствующей дроби p / q . Кроме того, указанные дроби описывают все окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби p / q .

Построение окружностей Форда, касательных данной.

Аналогично простые расчеты показывают, что окружности Форда, касающиеся данной, полностью окружают ее. Если бы мы могли изобразить на иллюстрации бесконечное множество этих окружностей, то увидели бы, что они бесконечно приближаются к дроби p / q , пока не «кусают» ее (см. рисунок выше и врезку ниже), как если бы они обладали столь же огромным аппетитом, что и донья Роса из романа Селы.