Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

На этой фотографии 1920 года Альберт Эйнштейн, Пауль Эренфест, Поль Ланжевен, Хейке Камерлинг-Оннеси Пьер Вейсизображены за обсуждением у доски.

Органы чувств автоматически передают мозгу информацию о форме, цветах, композиции, пространстве, освещении и текстуре картины, о гармоничности и ритмичности музыкальной композиции, однако в математике этого не происходит: анализ, выполняемый в этом случае, требует усилий. И чем больше усилий необходимо, чтобы понять математические рассуждения, тем сложнее оценить их красоту. Однако, возможно, удовольствие, испытанное при виде их красоты, будет выше, ведь за сложностью могут скрываться блестящие, глубокие и даже гениальные математические идеи.

Понимание структуры идей, в зависимости от гармонии их составляющих, пробуждает эстетическое удовольствие, «душевное наслаждение», как сказано в словаре. Перефразируя описание эстетической ценности, которое привел философ Джордж Сантаяна в своей книге «Постижение красоты», можно сказать, что это объективированное удовольствие, интеллектуальное наслаждение, которое мы можем получить, если изучим и поймем некую теорему, является центральной эстетической категорией, свойством математических рассуждений, которое наделяет их красотой.

Органы чувств передают в мозг информацию о том, что происходит вне его, следовательно, без них невозможно насладиться красотой чего бы то ни было, будь то картина, симфония или пейзаж. Тем не менее удовольствие, которое вызывает красота, лежит не только в плоскости чувств, но и требует вмешательства разума.

«Довольствия, которые доставляет красота, — писал Фернандо Саватер, — наименее „зоологические“ из всех». Так, было бы неразумно полагать, что собака или горилла оценят эстетику готического собора или картины Веласкеса. Последователи Сантаяны утверждают, что существует тесная взаимосвязь между эстетическими ценностями и другими жизненно важными представлениями человека. Витгенштейн возвел эту взаимосвязь в абсолют, сформулировав уравнение: «Этика равна эстетике». В любом случае, именно этот союз красоты и разума делает математику вместилищем эстетической ценности.

Как мы уже говорили в предисловии, цель этой книги — не развернуть сухое и скучное обсуждение эстетической ценности математики, а продемонстрировать на примерах некоторые основные принципы математической красоты. К этому мы сейчас и приступим.

Вы уже знаете, как сложно увидеть красоту, сокрытую в математических рассуждениях. Похожие сложности возникают в попытках оценить эстетику литературы. Однако литература описывает природу человека, что несколько упрощает ее восприятие: эмоции намного ближе, понятнее и поэтому интереснее нам, чем холодность прямоугольного треугольника или экзотичность простого числа. Однако математика также имеет эмоциональную составляющую, причем более интенсивную и важную, чем можно предположить. Об этом мы поговорим в следующей главе.

Мы, математики, должны уметь использовать эмоции в той же степени, что и писатели, и переводить на математический язык, пусть и с необходимыми оговорками, некоторые приемы из арсенала романистов. Расскажем об одном из таких приемов.

Одна из главных целей любого романа и, возможно, его основное достоинство заключается в том, чтобы показать богатство, разнообразие и сложность человеческой природы. В XX веке возник стилистический прием, позволяющий достичь этой цели, — это изображение человеческого муравейника, в который неизбежно превращается любой большой город, и плотной сети взаимоотношений между его жителями. Так родились романы с великим множеством персонажей, изображавшие сложность кишащего людьми мегаполиса; эти персонажи в романе, кажется, никак не пересекаются друг с другом, но постепенно скальпель автора рассекает реальность и обнаруживает плотную сеть удивительных взаимосвязей между героями. К жемчужинам этого стиля принадлежат «Манхэттен» (1925) американского писателя Джона Дос Пассоса и «Улей» (1951) испанского писателя Камило Хосе Села, лауреата Нобелевской премии по литературе, в котором описывается 296 воображаемых и 50 реальных персонажей, хотя большинство из них появляются на сцене лишь ненадолго.

В математике достаточно часто случается так, что различные законы и теоремы кажутся далекими друг от друга, однако в итоге между ними обнаруживается неразрывная связь. Математика представляет собой единое целое, и часто всего один взгляд под правильным углом или одна блестящая идея позволяют связать и объединить результаты, которые, на первый взгляд, никак не связаны между собой. Как и в романах «Манхэттен» и «Улей», демонстрация этого богатства скрытых взаимосвязей позволяет ярче выразить красоту математики. Хорхе Вагенсберг в своей книге «Интеллектуальное наслаждение» отмечает, что поиск общего принципа в различном — важнейший источник эстетического удовольствия: «Понять, что две вещи, по сути, различные, есть в конечном итоге одно и то же, — основа понимания и редкого интеллектуального наслаждения». Оставшуюся часть этой главы мы посвятим примеру, доказывающему истинность этого суждения.