Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Читатель уже наверняка догадался, что теперь существует еще одно иррациональное число, для которого нельзя улучшить это рациональное приближение. Это число — √221. Если исключить его из рассмотрения, то можно получить новое, еще более точное рациональное приближение — 13/√1517, для которого, в свою очередь, также существует «нежелательное» иррациональное число. Так мы постепенно придем к предельному значению 1/3: для любого иррационального числа а , за исключением полученного списка иррациональных чисел и эквивалентных им, существует бесконечно много дробей вида p / q таких, что

В романе и в реальности, отзвуком которой он является, переплетаются судьбы персонажей, и из тесной паутины взаимоотношений рождается свет, озаряющий тайные стороны человеческой природы.

Подобно тому, как Мартин Марко живет в страхе, опасаясь политических репрессий режима Франко, Хулиту душат нормы национально-католической морали. В то время как для Марко возможен только один выход — сдаться, Хулита и ее жених смогли найти выход из ситуации, преодолеть все препятствия и начали встречаться в доме свиданий. Села великолепно передает все моральные противоречия, с которыми сталкиваются его герои. С одной стороны, донья Виситасьон Леклерк, мать Хулиты и сестра доньи Росы, воплощает лицемерную мораль, которая была столь по душе католическим сановникам того времени. Так, донья Виситасьон из сострадания жертвует деньги на крещение «китайских младенцев», за что, предположительно, Господь дарует ей Царствие Небесное после смерти. С другой стороны, Села рисует образ отца Хулиты, дона Роке Моисеса, бездельника, который удачно женился по расчету. Несколько сцен позволяют понять, какой была национал-католическая мораль времен Франко. В одном из эпизодов Хулита и ее отец встречаются на лестнице апартаментов доньи Селии: Хулита возвращается со свидания, а ее отец идет на встречу с одной из своих любовниц.

Подобно тому, как различные грани человеческой природы в романе передаются сплетением судеб его героев, которые кажутся далекими, так и в математике на первый взгляд не связанные между собой результаты скрывают тайные истины. Именно этим свойством обладают числа Маркова и числовые константы, которые упоминаются в теореме Гурвица, по мере того как мы уточняем рациональное приближение (это золотое число, квадратный корень из 2 и последующие иррациональные числа, для которых нельзя получить более точное рациональное приближение).

Ниже приведены первые четыре числа Маркова, то есть решения диофантова уравнения р 2+ q 2+ r 2= 3· р · q · r , упорядоченные по возрастанию: 1, 2, 5, 13.

Далее перечислены четыре первые константы, полученные при поиске всё более точных рациональных приближений по теореме Гурвица:

1/√5, 1/√8, 5/√221, 13/√1517.

Подобно тому как жизни Мартина Марко, доньи Росы и Хулиты на страницах «Улья» оказываются неразрывно связанными, так и числа Маркова связаны с рациональными приближениями иррациональных чисел, поскольку именно они определяют различные константы, возникающие при поиске рациональных приближений по теореме Гурвица.

Обратите внимание, что два приведенных выше списка чисел в действительности ничем не отличаются. Чтобы показать это, нужен ключ, который позволит преобразовать числа из первого списка в числа второго списка. Этот ключ нашел немецкий математик Оскар Перрон в 1921 году:

Подставим в эту формулу m = 1, первое число Маркова, и получим 1/√(9·1 – 4) = 1/√5 — константу, которая фигурирует в теореме Гурвица о рациональном приближении. Подставим в формулу m = 2, второе число Маркова, и получим 2/√(9·4 – 4) = 2/√32 = 1√8 — константу, которая фигурирует в теореме Гурвица, если исключить из рассмотрения золотое число. Если мы подставим в эту формулу m = 5 или 13, то есть третье и четвертое число Маркова соответственно, получим 5/√221 и 13/√1517 — два следующих числа, отсылающих и к теореме Гурвица. Аналогичные действия можно выполнить и для следующих чисел Маркова. С другой стороны, если m, р и q являются решениями уравнения Маркова m 2+ p 2+ q 2= 3· m · p · q , то исключением, которое будет препятствовать уменьшению константы m/√(9· m 2— 4) в теореме Гурвица, будет число