Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

1/ln(N)

Результат Гаусса получил новое выражение:

На самом деле эта формула была небольшой модификацией предыдущей; ученый обозначил ее L i(N) и назвал интегральным логарифмом N; выражение было более точным, поскольку в нем ряд сумм заменялся интегралом, то есть бесконечной суммой. Итак, выражение, заданное Гауссом, имело вид:

Гаусс предположил: π(Ν) = L i(N), что известно как гипотеза Гаусса о простых числах, которая, как мы увидим, превратилась в теорему Гаусса о простых числах. Так немецкий математик снова превзошел Лежандра, хотя для того чтобы доказать его открытие, потребовался огромный технический прогресс в вычислении простых чисел. Чтобы проверить свою гипотезу, Гаусс много времени посвятил построению таблиц простых чисел. В возрасте более 70 лет он написал астроному Иоганну Энке (1791-1865): «Очень часто я пользовался четвертью часа отсутствия дел, чтобы находить простые числа с промежутками размером в тысячу». Что и говорить, весьма оригинальный способ отдыхать! Но благодаря ему Гауссу удалось определить количество простых чисел, меньших 3000000, и он выяснил, что разница по сравнению с результатом его интегральной функции едва равна 0,0007 %. Когда появились более обширные таблицы простых чисел, обнаружилось, что формула Лежандра была гораздо менее точной и давала заметную погрешность для чисел больше 10000000.

С помощью современных методов вычислений было выяснено, что результат Гаусса для простых чисел меньше 10 16отличается от верного значения едва на одну десятимиллионную от 1 %, в то время как результат Лежандра дает отклонение в несколько тысяч миллионов раз больше. Мы можем утверждать, что Гаусс, основываясь на рассуждениях математического характера, превзошел Лежандра, который просто подобрал формулу для доступных ему данных.

Кроме этой первой гипотезы о том, что функция π(Ν) может быть точно оценена функцией Li(N) для бесконечных значений N, Гаусс вывел и вторую гипотезу, поскольку считал, что функция Li(N) в конце концов будет переоценивать реальное количество простых чисел (всегда на бесконечно малый процент) и что эта тенденция будет сохраняться. Это второе утверждение получило название второй гипотезы Гаусса. Доказать ее или опровергнуть было непростой задачей, поскольку в то время еще не было современных компьютеров, которые могли совершить необходимые вычисления. Подтвердить или опровергнуть гипотезы Гаусса можно с помощью строгого математического доказательства: нельзя ограничиться экспериментальным подтверждением, поскольку какой бы длинной ни была составленная таблица простых чисел, всегда будут сомнения в том, сохранится ли эта тенденция по мере продвижения ко все большим числам. Для математики возможности экспериментальной проверки на невообразимо больших числах недостаточно, и в этом ее отличие от других наук.

В проверке гипотез Гаусса заметную роль играл Бернхард Риман, которого можно назвать его лучшим учеником.

В 1809 году Вильгельм фон Гумбольдт (1767-1835) стал министром образования Пруссии и совершил революцию в образовательной системе. Изучение математики впервые получило большое значение в новых гимназиях и университетах, студентов воодушевляли изучать математику как таковую, а не только в качестве вспомогательной дисциплины на службе у других наук. Но эта тенденция весьма отличалась от французского подхода, в котором превалировало утилитарное знание. Одним из тех, кому удалось воспользоваться этим изменением, был Риман, на тот момент один из самых способных студентов-математиков в Германии. После окончания учебы в Люнебурге (государство Ганновер), следуя желанию своего отца-священнослужителя, он в 1846 году поступил в Гёттингенский университет, который славился преподаванием теологии. Так судьба свела Римана с уже пожилым Гауссом. Через некоторое время молодой студент убедил своего отца разрешить ему заменить изучение теологии на математику. Риман в течение двух лет учился в Берлинском университете, поскольку в Гёттингене, по его мнению, было мало интеллектуальных стимулов, помимо Гаусса. В Берлине он завязал общение с Дирихле, который предложил студенту первые задачи с простыми числами. Во время пребывания в Берлине Бернхарду удалось изучить записи Гаусса с гипотезами о простых числах.