Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

D+D/2+D/4+D/8+...

Так что в худшем случае получается, что Ахиллес должен пробежать

но по результату Эйлера мы знаем, что сумма ряда конечна и на самом деле она равна π²/6, поэтому расстояние, которое должен пробежать Ахиллес, также конечно. Более того, расстояние, которое он пробегает до того, как догнать черепаху, — обозначим его через d — равно

d<=(1/2+π²/6) · D

Если мы выполним вычисления, получится, что d < 2,144 · D. Действительно, можно вычислить, что расстояние, которое пробегает Ахиллес, чтобы догнать черепаху, при его двойной скорости равно d = 2D.

Дзета-функция, которой пользовался Эйлер, — это действительная функция с действительным значением, то есть для действительного значения мы получаем результат, который также является действительным значением. Например, мы знаем, что

Благодаря этому можно изобразить функцию в виде графика на плоскости, которую математики обозначают R². Когда мы меняем область определения функции, то есть множество, в котором она принимает значения, на множество комплексных чисел, результат функции также становится комплексным числом. Если мы сочтем, как это сделал Эйлер, что комплексное число a + bi может быть представлено как пара (a, b) е R², и то же самое справедливо для ζ(α + bi), которое также является комплексным числом, то получается, что его графическое представление должно осуществляться в R 4, то есть в пространстве из четырех измерений. Построение графиков в пространствах из четырех измерений нам недоступно, однако Риман смог вообразить эту функцию в четырех измерениях и понял, что существует связь между простыми числами и нетривиальными нулями функции, то есть теми, действительная часть которых лежит строго между 0 и 1.

Отмечая наступление нового тысячелетия, Институт Клэя выбрал семь математических задач, которые устояли перед всеми попытками их решения. Это было сделано в подражание Давиду Гильберту, который за 100 лет до этого определил перечень из 23 задач, ставших ориентиром для всех математиков XX века. Единственная задача, которая включена в оба списка, — это гипотеза Римана. Задачи тысячелетия охватывают самые важные области математики. Их перечень выглядит так.

1. Р относительно ΝΡ. Сформулирована Стивеном Куком в 1971 году. Возможно, это центральная проблема наук о вычислении. В основном математические проблемы сегодня классифицируются по классам Р и ΝΡ. Класс Р содержит все проблемы, которые могут быть решены с помощью алгоритма за полиномиальное время. Это означает, что число итераций ограничено многочленом, в котором переменная — «размер» проблемы. Эти проблемы решаемы с помощью компьютеров. Класс ΝΡ сформирован теми проблемами, для которых не существует алгоритмов в полиномиальном времени, но если у нас есть возможное решение проблемы из этого класса, то мы можем определить, хорошее оно или нет, за полиномиальное время. Из предыдущего определения следует, что любая проблема Р также является проблемой ΝΡ, тο есть любая проблема, решаемая в полиномиальном времени с помощью правильно подобранного алгоритма (Р), — это также проблема, которая допускает быструю проверку возможного решения (ΝΡ). Задача заключается в том, чтобы доказать (или опровергнуть), что любая проблема ΝΡ также является проблемой Р.

2. Гипотеза Ходжа. Связана с исследованием форм сложных объектов с помощью приближения на основе сочетания самых простых геометрических блоков возрастающей размерности.

3. Гипотеза Пуанкаре. Предложена в 1904 году знаменитым французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912). В ее самом простом выражении говорится, что есть только одна компактная односвязная разновидность размерности 3 — трехмерная сфера. Это единственная решенная проблема в списке — корректное доказательство в 2003 году представил российский ученый Григорий Перельман (р. 1966). За это открытие ему было решено вручить Филдсовскую премию, однако ученый от награды отказался.

4. Гипотеза Римана. В ней утверждается, что действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана равна 1/2.