Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

РИС. 1

По мнению пифагорейцев, все можно было измерить натуральными числами, другими словами, все величины соизмеримы между собой. Но, как мы только что увидели, существуют отрезки, у которых нет никакой общей единицы измерения. Более того, Феодор Киренский разработал метод для геометрического построения бесконечного числа несоизмеримых отрезков — спираль Феодора Киренского. Она строится начиная с отрезка, длина которого принимается за единицу. С помощью итеративного алгоритма затем строится последовательность прямоугольных треугольников с общей вершиной, а первоначальный отрезок остается коротким катетом первого из них (см. рисунок 2).

РИС. 2

Гипотенузы прямоугольных треугольников, составляющих спираль, последовательно равны квадратному корню из 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (хотя третье число в этой последовательности является натуральным — 2). Большая часть этих чисел иррациональные, то есть их нельзя записать как отношение двух натуральных чисел. Сегодня мы бы сказали, что любое действительное число (этого понятия в Древней Греции не существовало), выраженное как √n, где n — натуральное число, не являющееся идеальным квадратом (то есть квадратом без десятичных долей другого целого числа), иррациональное. Изучению несоизмеримых линий Евклид посвятил книгу X.

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата можно доказать чисто геометрически, в том числе и методом доведения до абсурда. Для этого надо применить итеративный алгоритм: исходя из конкретного случая строятся другие, более мелкие фигуры, сохраняющие такие же соотношения. Рассмотрим квадрат ABCD со стороной а=АВ и диагональю d = АС.

Отложим сторону на диагонали. Мы получим отрезок АВ’. Проведем касательную к полуокружности ВВ', касающуюся ее в точке В она пересечет сторону ВС в точке А'. Соединим В' и А' и получим прямоугольный равнобедренный треугольник СВ'А' и квадрат СВ'А'D'. Мы построили новый квадрат со стороной А'В' = АС - АВ [а' = d - а] и диагональю А'С = ВС - А'В [d' = а - а' ], где АС > А'С и АВ > В'С. Ясно, что если u измеряет одновременно и а = АВ, и d = АС, то будет измерять а' и, следовательно, d'. Мы можем повторить проделанное и получить пары [a, d] > [а', d ] > [а", d"] > [а'", d'"] > ... соизмеримых сторон и диагоналей квадратов. В какой-то момент диагональ или сторона станут меньше единицы измерения и, что невозможно.

Но возможно ли рассмотреть соотношение несоизмеримых величин? Отвечая на этот вопрос, нельзя не обратиться к наследию гениального Евдокса Книдского, автора идей, содержащихся в V и VI книгах. Начнем анализ книги V с первых четырех определений.

Определение 1.Часть есть величина от величины, меньшая от большей, когда она измеряет большую.

Определение 2.Кратное же — большая от меньшей, когда она измеряется меньшей.

Определение 3.Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.

Определение 4.Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

В понятиях части и кратности содержится также понятие соизмеримости или делимости. Кратное число — повторение одной и той же величины определенное количество раз. Если у нас есть величина A, a m — произвольное натуральное число, то кратное будет m х A. Оно равно сумме величин A, взятых m раз. Делитель или часть D величины A — это величина «такого же рода», что и A, такая что A кратна D то есть такая, что если взять определенное натуральное число m, то A = m х D. Подразумевается, что мы знаем, в каких случаях величина «больше, равна или меньше другой», и это, как мы увидим, имеет огромное значение.

Зенон и Евдокс были представителями двух совершенно противоположных школ в математике: критически- деструктивной и критически-конструктивной. Оба были проникнуты столь же сильным критицизмом, как и их последователи...

Эрик Белл «Творцы математики»

Существуют объекты, подтверждающие определение, — свойства, которые устанавливаются в постулате или предложении. Это придает определению смысл. Но есть и другие объекты — не подтверждающие определение.