Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Мы не можем и не должны забывать о влиянии философии на древнегреческую математику. Аристотель, например, уделяет огромное влияние понятию бесконечности в своей «Физике». В самом начале он пишет:

«Мелисс... утверждает, что сущее бесконечно. Следовательно, сущее есть нечто количественное, так как бесконечное относится к [категории] количества, сущность же, а также качество или состояние не могут быть бесконечными иначе как по совпадению... ведь определение бесконечного включает в себя [категорию] количества, а не сущности или качества. Стало быть, если сущее будет и сущностью, и количеством, сущих будет два, а не одно; если же оно будет только сущностью, то оно не может быть бесконечным и вообще не будет иметь величины, иначе оно окажется каким-то количеством».

Но более детальный анализ бесконечности производится в книге III, где Аристотель рассуждает о природе бесконечности, ее существовании и видах. После подробнейших философских рассуждений древний грек заключает, что существует «бесконечное путем прибавления» для чисел (в арифметике) и «бесконечное путем деления» для величин (в геометрии). Оба типа бесконечного существуют потенциально, «в возможности», а не «актуально», в действительности. Другими словами, в науке бесконечности не существует, ни один объект не может считаться бесконечным.

Портрет Евклида на марке Мальдивской Республики (1988).

Аристотель.

В 1975 году математик Джон Плейфэр предложил новую формулировку пятого постулата Евклида;теперь этот постулат известен как аксиома Плейфэра.

Немецкий математик Давид Гильберт в 1886 году.

Бесконечность является только порождающим процессом. Актуальную бесконечность нельзя принять как возможную идею идеального мира и тем более ее нельзя применить к математике. Следовательно, остается только потенциально бесконечное, то есть возможность постоянно продолжать что-то, но всегда на ограниченное число ступеней. Этот процесс может никогда не кончаться: бесконечное всегда останется в области возможного. Аристотель очень убедителен, когда говорит об использовании математиками актуальной бесконечности:

«Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования, ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: [математикам] надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в [реально] существующих величинах».

Для понимания методологии Евклида очень важно ответить на вопрос: прав ли Аристотель, когда утверждает, что его философия бесконечности не относится к математике? Насколько строго Евклид придерживается ограничений, установленных Аристотелем, и в каких случаях он их нарушает? Евклид считает, что прямые — это прямые отрезки, а их концы — точки, то есть прямые конечны. Он дает определение именно отрезкам и рассматривает только их. В пятом постулате он избегает говорить о параллелизме, который, как мы увидим дальше, подразумевает существование бесконечности. В разделе по арифметике, в частности в предложении 20 книги IX, он говорит:

Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.

Такая формулировка позволяет Евклиду применить прямое доказательство, а если бы он воспользовался понятием актуальной бесконечности, то вынужден был бы прибегнуть к непрямому доказательству. В этом заключается одна из трудностей, перед которой нас часто ставит использование понятия бесконечности: приходится прибегать к косвенным доказательствам с помощью метода доведения до абсурда. Рассмотрим разницу между двумя типами доказательств на примере утверждения Евклида, процитированного выше. Начнем с прямого. Представим, что у нас есть бесконечное количество простых чисел: а, b,..., т. Возьмем число N = (а х b х ... x m) + 1. Если N— простое число, значит есть простое число, отличное от а, b, ..., m. Напротив, если N — составное число, то его делителем будет простое число (книга VII, предложение 32), которое должно быть отличным от каждого из ряда простых чисел а, b, ..., m.