Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Бог ты мой! Кажется, у всех вокруг больше друзей, чем у меня!

Такое можно встретить и в «Фейсбуке», и в «Твиттере». Такое можно встретить на сайте любой социальной сети, но такое происходит и в реальной жизни. Это случается, если вы вдруг решаете произвести подсчет деловых или сексуальных партнеров. Начиная перебирать своих друзей, чтобы посмотреть, сколько друзей у них , получаешь весьма поучительный опыт. Мало того, что у большинства из них друзей оказывается больше, чем у вас; в среднем у всех без исключения оказывается больше друзей.

Почему же вы так непопулярны в сравнении со всеми остальными? Это внушает серьезную тревогу. Но расстраиваться нет никаких причин. Друзья большинства людей имеют больше друзей, чем сами эти люди.

Вероятно, это звучит по меньшей мере странно. Каждый в данной социальной сети имеет в среднем одно и то же число друзей; говоря конкретно, среднее существует только одно. У кого-то друзей больше, у кого-то меньше, но в среднем их… среднее количество. В этом случае кажется интуитивно правдоподобным, что и друзья этих людей в среднем тоже имеют это же число друзей. Но так ли это?

Рассмотрим пример. Он не придуман специально так, чтобы создать нестандартную ситуацию; это первое, что пришло мне в голову. Большинство сетей ведет себя точно так же. В сети (см. выше) представлено 12 человек, линии соединяют друзей. (Считаем, что все дружбы взаимны. В социальных сетях это не всегда так, но эффект, о котором идет речь, все равно возникает.) Представим несколько ключевых показателей в табличной форме.

Жирным шрифтом я выделил в последнем столбце числа, которые оказались больше, чем число во втором столбце. Это те случаи, в которых друзья X имеют в среднем больше друзей, чем сам X. Выделены 8 из 12 чисел в этом столбце, и еще в одном случае числа там и там одинаковы.

Если усреднить числа во втором столбце, получится 3. Это означает, что среднее число друзей у человека по всей социальной сети равно 3. Но большинство записей в четвертом столбце больше этого среднего значения. Что в данном случае не так с интуицией?

Ответ дают такие люди, как Джордж и Жанна, у которых особенно (и необычно) много друзей – в данном случае 5 и 6 соответственно. По этой причине при подсчете друзей у друзей их считают намного чаще, чем остальных. И поэтому они вносят больший вклад в сумму в столбце 3 и, следовательно, в среднее значение. С другой стороны, люди с небольшим числом друзей фигурируют в подсчете гораздо реже и вносят значительно меньший вклад.

Ваши друзья – не типичный пример. Среди них гораздо лучше представлены люди с большим числом друзей, поскольку шанс на то, что вы входите в число их друзей, намного выше. А люди с небольшим числом друзей представлены куда хуже. Именно этот эффект сдвигает среднее число друзей у друзей в сторону увеличения.

В третьем столбце таблицы можно увидеть, как это происходит. Число 5 фигурирует в столбце 3 пять раз – по одному у каждого из друзей Джорджа; точно так же 6 в столбце 3 встречается шесть раз, по одному у каждого из друзей Жанны. С другой стороны, вклад Алисы в столбец 3 (не в ее собственной строке, а в тех случаях, когда она сама фигурирует в других строках как друг) составляет всего лишь две двойки: одна от Боба и одна от Вероники. Таким образом, вклад Джорджа составляет 25, а вклад Жанны – даже 36, тогда как бедняжка Алиса вносит всего лишь 4.

Кому дано, приумножится.

Во втором столбце ничего подобного не происходит: каждый вносит в среднее значение, равное 3, свою справедливую долю.

На самом деле среднее значение всех чисел в столбце 4 равно 3,78, заметно больше трех. Вероятно, мне следовало бы использовать взвешенное среднее значение: сложить все числа в столбце 3 и разделить на их количество. Тогда получится 3,55, все равно больше трех.

Надеюсь, после моего объяснения вы почувствовали себя лучше.

Доказательство см. в главе «Загадки разгаданные».

По статистике, каждый год в мире откладывается 42 млн крокодильих яиц. Из них проклевывается только половина. Три четверти проклюнувшихся крокодильчиков съедается хищниками за первый месяц жизни. Из оставшихся только 5 % доживают до возраста одного года – по разным причинам.