Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

В настоящее время мы можем пойти значительно дальше. Миллион – это 1 000 000, так, мелочь. Мы можем получить намного более крупные числа, просто подставив в конце еще нуликов и наблюдая, как возрастает число стандартных групп по три цифры (математики нередко разделяют их тонким пробелом для наглядности). В западном мире существуют стандартные наименования для больших чисел, отражающие эту традицию: миллион, биллион, триллион, … и далее до сентиллиона. Но человек так устроен, что у него не может быть все просто, особенно в математике, поэтому эти слова имеют (или, по крайней мере, имели раньше) разные значения по разные стороны Атлантики. В США биллион равен 1 000 000 000, но в Великобритании этим словом называют 1 000 000 000 000 – то есть то, что американцы назвали бы триллионом. Однако в нынешнем взаимосвязанном мире победил американский вариант – возможно, потому, что «миллиард» (британское название для тысячи миллионов), во-первых, устаревает и, во вторых, его слишком легко спутать с «миллионом». А биллион [24] Мы приводим здесь рассуждения автора, но далее будем по-прежнему пользоваться русскими вариантами названий: миллион, миллиард, триллион. – Прим. пер. – чудесное круглое число для международных финансов, по крайней мере до тех пор, пока мировые банки не выбросят на ветер финансового кризиса так много, что нам придется привыкать думать в триллионах.

Эти же числа можно записать и проще, если использовать степени 10. В этом случае 10 6обозначает 1 с шестью нулями, то есть миллион. Число 6 здесь называют показателем экспоненты . Биллион – это 10 9(миллиард), или 10 12(триллион) в старомодном британском варианте. Сентиллион превращается в 10 303(10 600в британском варианте). Признанные расширения к стандартным названиям существуют вплоть до миллиниллиона, 10 3003. Существует несколько систем таких расширений, но жизнь слишком коротка, чтобы описывать их все или хотя бы подробно описывать разницу между ними.

Еще два названия для больших чисел, которые также можно найти в большинстве словарей, – это гуголь и гугольплекс . Гуголь – это 10100 (1 со ста нулями); название придумал в свое время девятилетний племянник Джеймса Ньюмена Милтон Сиротта. Сиротта предложил и еще большее число – гуголплекс, которое определил так: «Я писал нули, пока ты не устал». Некоторая неопределенность количества нулей потребовала уточнения: «Я поставил еще гугол нулей».

Это более интересно, поскольку здесь мы сталкиваемся с той же проблемой, с какой столкнулись когда-то римляне, с той разницей, что они занялись ею намного раньше. Если вы попытаетесь записать гуголплекс в десятичном виде, как 1 000 000 000 …, то вам не хватит жизни, чтобы добраться до его конца. Строго говоря, вам не хватит для этого времени жизни всей Вселенной. Считая, что современные космологические представления верны, Вселенная, вероятно, закончит свое существование раньше, чем вы закончите писать это число. Во всяком случае, места для всех этих нулей вам не хватит даже в том случае, если каждый из них размером будет не больше кварка.

Однако существует и компактный способ записи гуголплекса: итерационная экспонента, или экспонента экспоненты. А именно:

10 10¹⁰⁰.

И раз уж вы начали думать о подобных вещах, то добавим, что этот метод позволяет добраться до по-настоящему очень больших чисел. В 1976 г. ученый-компьютерщик Дональд Кнут придумал способ записи очень больших чисел, которые, помимо всего прочего, фигурируют в некоторых областях теоретической информатики. Когда я говорю «очень больших», я подразумеваю очень большие числа – настолько большие, что способа даже начать их записывать в традиционной нотации просто не существует. Гуголплекс, то есть единица с 10 100нулей, меркнет по сравнению с большинством чисел, которые можно записать при помощи нотации со стрелочкой Кнута.

Кнут начинает с записи

a ↑ b = ab .

К примеру, 110↑2 = 100, 10↑3 = 1000, 10↑100 – гугол, а 10↑(10↑100) – гуголплекс. Традиционная договоренность о том, в каком порядке вычисляются экспоненты (справа налево), позволяет нам записать это проще – как 10↑10↑100. Не нужно обладать особенно развитым воображением, чтобы записать, скажем, 10↑10↑10↑10↑10↑10↑10.

Но это только начало. Пусть

a ↑↑ 4 = a ↑ (a ↑ (a ↑ a)) .

К примеру,

2↑↑4 = 2↑(2↑(2↑2)) = 2↑(2↑4) = 2↑16 = 65 536

и

3↑3 = 3↑3↑3 = 3↑27 = 7 625 597 484 987.

Числа растут настолько стремительно, что записать их цифра за цифрой очень скоро становится попросту невозможно. К примеру, в числе 4↑↑4 насчитывается 155 десятичных знаков. Но в этом-то и смысл : стрелочная нотация обеспечивает компактный способ обозначения гигантских чисел. Однако мы едва начали. Пусть