Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– К примеру, меня и Ватсапа соединяет вилка в центре стола, но со всеми остальными меня соединяет нож. Таким образом, как проницательно заметил Ватсап, треугольник ВАБ состоит из вилок, а треугольник СБД – из ножей. Однако я утверждаю, что, как бы мы ни разложили ножи и вилки, на столе всегда будет присутствовать по крайней мере один треугольник, образованный одинаковыми приборами.

– Но, может быть, оба, мистер Сомс? – спросила Беатрис. Ее глаза не отрываясь следили за каждым его движением.

– Иногда да, мадам, но не всегда. Если взять крайний случай, то есть если на столе окажутся одни только вилки, то никакого треугольника из ножей не образуется; или, если там будут только ножи, не образуется треугольника из вилок.

Беатрис кивнула с серьезным видом.

– В таком случае представляется, – протянула она, – что по мере того, как вилки заменяются ножами и возможность образования треугольника из вилок уменьшается, возможность образования треугольника из ножей, наоборот, увеличивается.

Сомс кивнул.

– Очень хорошо сформулировано, мадам. Для доказательства достаточно всего лишь показать, что второе появляется раньше, чем исчезает первое. Для определенности выберем одну конкретную тарелку. Любую. На нее указывают пять приборов. По крайней мере три из них должны быть одного типа. Почему?

– Потому что если там окажется два одних и два других, то всего приборов будет максимум четыре, – сразу же сказала Беатрис.

– Очень хорошо! – объявил я прежде, чем Сомс успел озвучить аналогичный комплимент.

– Так, – сказал он, – рассмотрим набор из трех одинаковых приборов – будем считать, что это вилки, в случае с ножами будет то же самое, – и посмотрим на тарелки, на которые они указывают. Конечно, на остальные, не на ту, которую выбрали в самом начале. Видим, что либо одна из этих тарелок связана с другой вилкой, либо…

– Все три связаны ножами! – воскликнула она. – В первом случае мы нашли треугольник из вилок, во втором – из ножей. Да, мистер Сомс, теперь, когда вы все это так ясно объяснили, это кажется…

– Совершенно очевидным, – вздохнул Сомс, делая большой глоток шерри.

Это замечание немного остудило ее энтузиазм, и я помахал ей рукой, извиняясь за грубость моего товарища. От ее ответной улыбки у меня потеплело на сердце.

Эта область математики носит название теории Рамсея. Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Сколько песчинок во Вселенной? Архимед, величайший из древнегреческих математиков, решил в порядке борьбы с господствовавшим тогда представлением о том, что ответом на этот вопрос является бесконечность, найти способ выражения очень больших чисел. В его книге «Исчисление песчинок» предполагалось, что Вселенная имеет размеры, которые приписывали ей греческие философы, и что она целиком заполнена песком. Архимед рассчитал, что в этом случае в ней содержалось бы (в нашем десятичном представлении) не более 1 000… 000 песчинок (число с 63 нулями).

Это много, но не бесконечное количество. Существуют ли числа еще больше?

Математикам известно, что наибольшего (целого) числа не существует. Числа могут быть сколь угодно большими. Причина проста: если бы наибольшее число существовало, его можно было бы сделать еще больше, прибавив 1. Большинство детей, освоивших десятичную запись, быстро понимают, что любое число можно сделать больше (мало того, вдесятеро больше), просто приписав к его концу еще один нолик.

Однако, несмотря на то что в принципе предела для величины числа не существует, у нас часто имеются практические ограничения, присущие выбранному нами способу записи чисел. К примеру, римляне записывали числа при помощи букв I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000), объединяя их в группы для получения промежуточных чисел. Так что числа 1–4 записывались I, II, III, IIII, за исключением того, что IIII часто заменяли на IV (5 минус 1). В этой системе наибольшее число, которое вы можете записать, равно:

MMMMCMXCIX = 4999,

или еще на тысячу меньше, если ограничиться только тремя M.

Однако иногда римлянам требовались числа и побольше. Чтобы обозначить миллион, они ставили черточку (римское название vinculum ) над M, получая M. Вообще, черточка над буквой увеличила ее значение в тысячу раз, но такая запись использовалась редко, и даже когда использовалась, то ставилась лишь один раз, так что максимум, до чего можно было добраться таким образом, – это несколько миллионов. Ограничения этой символьной системы ясно показывают, что размер чисел, которые можно записать, всегда зависит от используемой системы представления чисел.