Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Ну да, ей-богу, так я и сделал, Сомс! Неопровержимо.

Он начал набивать табак в свою трубку.

– И к какому же выводу вы придете, если я скажу, что, по словам герцога Бамблфортского, после того как все гости высказались примерно в таком же духе, эрл Мондеринг продемонстрировал верное решение.

– Я… ну…

– Вы вынуждены признать, что благородный герцог, наследник Британской империи и образец высокого благородства… на самом деле низкий лжец. Поскольку никакого решения не существует, как вы только что доказали.

Мое лицо вытянулось.

– Да, правда, все выглядит именно так… Нет, подождите, возможно, это вы не говорите мне…

– Мой дорогой доктор, я, честно признаюсь, иногда действительно умалчиваю кое-что, исключительно в ваших интересах, но не в данном случае. Даю слово.

– Но тогда… Я шокирован поведением герцога.

– Оставьте, Ватсап. Имейте веру в британский характер.

– Эрл обманывал?

– Нет-нет-нет. Ничего подобного. Вы способны на большее. В этой ситуации может быть и другое вполне прозаическое объяснение, которое вы проглядели. Более того, могу с уверенностью предсказать, что через несколько минут вы сами будете говорить мне, что решение очень простое и что догадаться может даже ребенок.

После этого Сомс рассказал мне, что сделал Мондеринг.

– Ну, здесь даже ребенок дога… – начал я, но вдруг резко остановился. Должен со всей откровенностью признать, что в этот момент я покраснел как рак.

Какое решение предложил Мондеринг? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Идиллическая сцена на морском берегу: тихая бухта, волны разбиваются о скалы, покрытые водорослями и увешанные гроздьями моллюсков. Кажется, всюду царит сонное спокойствие. На самом деле эти неподвижные скопления мидий – царство непрекращающейся активности; чтобы ее увидеть, нам просто придется ускорить течение времени. При покадровой съемке видно, что моллюски в группах постоянно находятся в движении. Они прикрепляются к камням при помощи особых нитей, которые выделяет нога. Открепляя одни нити и добавляя другие в новых местах, мидия может управлять своим положением на камнях. С одной стороны, мидии любят находиться рядом с себе подобными, потому что вероятность того, что их оторвет от камня волнами, в этом случае заметно меньше. С другой стороны, если рядом нет других мидий, которые составили бы конкуренцию, можно добыть больше пищи. Оказываясь перед такой дилеммой, мидии делают то, что сделало бы на их месте большинство здравомыслящих организмов: идут на компромисс. Они размещаются таким образом, что у каждой мидии оказывается много близких соседей, но мало дальних. То есть они собираются группами. Эти группы – заплатки на дне – видны невооруженным глазом, но вот как они формируются, заметить невозможно.

В 2011 г. Моник де Джагер и ее коллеги применили математику случайного блуждания к моделированию того, как могла сформироваться у мидий групповая стратегия. Случайное блуждание часто сравнивают с движением пьяного по дорожке: то вперед, то назад, без всякой очевидной системы. Если добавить еще одно измерение, получится, что случайное блуждание на плоскости – это серия шагов, длины и направления которых выбираются случайным образом. Разные правила выбора – разные распределения вероятностей для длин и направлений – дают случайные блуждания с разными свойствами. В броуновском движении длины шагов распределяются по колоколовидной кривой вблизи одного конкретного среднего значения шага. В блужданиях Леви [19] Случайные блуждания Леви – марковский случайный процесс с дискретным временем, плотность распределения индивидуальных приращений в котором имеет протяженный степенной «хвост». У такого распределения отсутствует дисперсия, поэтому к данному процессу не применима центральная предельная теорема, и положение точки, совершающей случайные блуждания Леви, даже после большого числа шагов, не описывается нормальным, или гауссовым, распределением. – Прим. ред. вероятность того или иного шага пропорциональна некоторой фиксированной степени его длины, в результате чего многочисленные короткие шаги время от времени прерываются гораздо более длинным шагом.

Статистический анализ наблюдаемых длин шагов ясно показывает, что блуждания Леви вполне соответствуют тому, чем на самом деле занимаются мидии на приливных отмелях, а броуновское движение – нет. Это согласуется и с экологическими моделями, которые математически демонстрируют, что блуждания Леви позволяют мидиям быстрее распространяться, осваивать больше новых площадей и избегать конкуренции с другими видами моллюсков. Это, в свою очередь, позволяет предположить, почему в процессе эволюции появилась именно такая стратегия. Естественный отбор обеспечивает обратную связь между стратегиями передвижения и генетическими инструкциями, предписывающими их применение. У каждой отдельной мидии появляется больше шансов выжить, если она пользуется стратегиями, которые повышают ее шансы на получение пищи и снижают вероятность того, что она будет смыта волнами.