Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Реальная величина двузначного числа [ ab ] составляет 10 a + b . Поэтому левую часть уравнения можно записать как

(10 × 8 + 9)² + (10 × 4 + 5)² + (10 × 6 + 4)²,

что равняется

100 (8² + 4² + 6²) + 20 (8 × 9 + 4 × 5 + 6 × 4) + 9² + 5² + 4².

Аналогично правая часть уравнения превращается в

100 (6² + 4² + 8²) + 20 (6 × 8 + 4 × 3 + 8 × 7) + 8² + 3² + 7².

Сравнивая эти выражения, обнаруживаем, что первые слагаемые в них равны, потому что 6² + 4² + 8² (это то же, что 8² + 4² + 6², только в другом порядке); третьи слагаемые равны, потому что мы, собственно, с этого начали. Поэтому нам достаточно посмотреть, равны ли в этих выражениях вторые слагаемые, то есть действительно ли

8 × 9 + 4 × 5 + 6 × 4 = 6 × 8 + 4 × 3 + 8 × 7.

Если посчитать, то и другое равно 116.

Все вышесказанное сработало бы нисколько не хуже, если бы мы вместо 8, 4 и 6 использовали любые другие три однозначных числа. Так что нам, чтобы сделать конечные выражения верными, нужно просто выбрать эти числа.

Дальнейшие этапы можно объяснить аналогично.

С некоторыми подсказками и наводящими вопросами Сомса я через некоторое время понял, что ключом к этой загадке является уравнение 111 = 3 × 37. Оказалось, что трехзначные числа, которые после моей процедуры дают длинный ряд одинаковых цифр, кратны 3. К примеру, именно так обстоит дело для чисел 123, 234, 345, 456 и 126. Для таких чисел моя процедура эквивалентна умножению меньшего числа, равного трети от исходного, на 3 × 37, то есть на 111.

В качестве примера рассмотрим предложенное Сомсом число 486. Это 3 × 162. Поэтому умножить 486486486486486486 на 37 – это то же самое, что умножить 162162162162162162 на 111. Поскольку 111 = 100 + 10 + 1, это можно сделать путем сложения чисел

16216216216216216200

1621621621621621620

162162162162162162

Начиная справа налево, получаем 0 + 0 + 2 = 2, затем 0 + 2 + 6 = 8. После этого получаем 2 + 6 + 1, 6 + 1 + 2, 1 + 2 + 6 снова и снова, пока не доберемся до левого конца. Складывая одни и те же три числа в разном порядке, получаем в каждом случае, естественно, один и тот же результат – а именно 9.

Когда Сомс в первый раз объяснил мне все это, у меня нашлось возражение.

– Да, но что если при сложении этих трех чисел получается больше 9? Возникнет перенос в следующий разряд!

Он ответил кратко и по существу.

– Ну да, Ватсап, каждый раз один и тот же перенос.

В конце концов я понял, что это означало все то же самое – многократное повторение одной и той же цифры.

– Существуют, конечно, и более формальные доказательства, – заметил Сомс, – но мне кажется, этот пример вполне проясняет общую идею.

После этого он вернулся в кресло с кипой газет и весь остальной вечер молчал, а я спустился вниз, чтобы выпросить у миссис Сопсвудс тарелку сэндвичей с горгонзолой.

[На написание этой главы меня вдохновили кое-какие наблюдения Стивена Гледхилла.]

Мы используем не то среднее. Нам нужно среднее гармоническое (что это такое, объясняется ниже), а не среднее арифметическое.

Обычно мы определяем «среднюю скорость» какого-то путешествия как полное проделанное расстояние, деленное на полное затраченное время. Если путешествие разбито на несколько этапов, то средняя скорость, как правило, не является средним арифметическим скоростей на этих отрезках. Если отрезки преодолеваются за равное время, среднее арифметическое годится, но если они имеют равную длину (как и обстоит дело в нашем случае), то это не так.

Сначала рассмотрим случай с равными временны́ми отрезками. Предположим, что машина едет со скоростью a время t, а затем со скоростью b то же время t . Полное расстояние, равное at + bt, занимает время 2 t . Поэтому средняя скорость равна ( at + bt )/2 t , что равно ( a + b )/2, то есть среднему арифметическому скоростей.

Теперь возьмем случай с равными расстояниями. Машина проезжает расстояние d на скорости a за время r . Затем она снова проезжает расстояние d, на этот раз со скоростью b за время s . Полное расстояние равно 2 d , полное время равно r + s . Чтобы выразить это через скорости a и b , заметим, что d = ar = bs . Таким образом, r = d/a , а s = d/b . Тогда средняя скорость равна

Это выражение упрощается до 2 ab / ( a + b ), что соответствует гармоническому среднему a и b . Эта величина обратна среднему арифметическому величин, обратных a и b , где под величиной, обратной x , подразумевается 1 /x . Причина в том, что время, затраченное на дорогу, пропорционально величине, обратной скорости.