Рафаель Роузен - Математика для гиков

Источник вдохновения для математики можно найти повсюду. Например, у математика Микаэля Вейдемо-Йоханссона из Института Йозефа Стефана в Словении возникла идея во время просмотра «Матрицы». Он заметил, что персонаж Меровинген носил галстуки с необычными узлами; один из них больше всего ему запомнился, так как складывалось впечатление, что сам галстук носил галстук. Заинтригованный, Микаэль провел исследование и выяснил, что команда из Кембриджа опубликовала исследование об узлах в математике. Два исследователя разделили завязывание галстука на серию шагов, которые могут быть представлены в виде букв. (Вот некоторые из них: «Л» – влево, «П» – вправо, «Ц» – центр, «Т» – когда конец галстука продевается через узел.) Они разделили возможные узлы на 101 категорию, в зависимости от общего количества действий и количества центрирующих движений – в общей сложности получилось 85 узлов.

Однако проблема заключалась в том, что узел Меровингена в этот список не входил. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что исследователи из Кембриджа – Йон Мао и Томас Финк – сделали два предположения, которые ограничили количество возможных узлов. Во-первых, они поставили условие, что все узлы должны быть покрыты ровным куском галстучной ткани, а во-вторых, движение, при котором один конец галстука вставляется в узел, должно выполняться в самом конце процесса. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что если бы он упростил формальный язык представления узлов галстуков и увеличил количество раз, когда один конец галстука мог оборачиваться вокруг другого, с 8 до 11, то он получил бы 177 147 возможных узлов. Он и еще два его товарища нашли 2046 категорий для петляющих узоров, которые могут потребовать до 11 действий.

Так что в следующий раз, когда вам надоест, как вы завязываете свой галстук, вспомните, что у вас достаточно вариантов, которых хватит вам на всю оставшуюся жизнь!

Когда вы только начали носить галстуки, вы, вероятнее всего, познакомились с простым узлом, который легче всего завязывается. Узел «Виндзор» – это более сложный узел, он стал популярным благодаря герцогу Виндзорскому и лучше всего подходит для рубашек с широким воротником.

У музыки и математики всегда были тесные отношения. Начиная с эпохи пифагорейцев и древних греков до композиций Баха, которые порой звучат как теоремы, превращенные в звук, и сложной структуры нотной грамоты – с четвертными нотами, гаммами и темпом, – музыка воплощает математику таким образом, как это могут делать не многие дисциплины. С одной стороны, математика в музыке очевидна: числа встречаются повсюду. Например, некоторые произведения имеют размер 4/4, вальсы – 3/4, а славянская музыка – 12/16. Некоторые ноты звучат в течение всего такта, другие же только 1/16 долю этого такта. Темп относится к количеству ударов в единицу времени. Метры говорят музыканту, сколько ударов в каждом такте и какая нота должна получить удар. Неважно, куда вы смотрите, музыка пронизана математикой.

Однако с другой стороны, математика в музыке не так очевидна, но эта спрятанная математика является основой всей музыки, независимо от того, в каком уголке мира она встречается. Этот скрытый математический аспект – характеристика музыкальных интервалов. Сыграйте две ноты на пианино одновременно, и в результате сочетание нот прозвучит или благозвучно, или ужасно.

Одним из самых благозвучных сочетаний из двух нот или интервалов является октава, в которой соотношение частот между звуками составляет 1:2. Если вы посмотрите на клавиши пианино, то примером октавы будет центральная нота «до», сыгранная вместе со следующей нотой «до». (Две ноты «до» будут отделять шесть белых клавиш.) Октавы также можно представить в виде соотношений. Так как одна нота в каждой октаве имеет частоту, которая будет в два раза выше, чем у другой, то соотношение будет равно 2:1. У других интервалов будут свои соотношения, а также определения «чистые», «уменьшенные», «увеличенные». (Понятие «чистого» интервала относится к интервалу, который наиболее благозвучен для большинства людей. «Увеличенный» интервал – это «чистый» интервал, к которому добавили полутон. Например, сочетание нот «до» и «соль» дают чистую квинту, а ноты «до» и «соль-диез» – черная клавиша или полутон выше «соль» – дают увеличенную квинту.) Соотношение чистой квинты равно 3:2, а соотношение большой терции – интервала, состоящего из 4 полутонов, – 5:4. Когда мы думаем о комбинациях нот в плане соотношений, это помогает выявить скрытую математику в музыке, которую мы слышим каждый день.