Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Ожидаемая ценность – это отличный способ определить справедливую цену объекта (такого как ставка на собачьих бегах), истинная ценность которого неизвестна. Если я заплачу за каждый билет на бега по 12 долларов, в долгосрочной перспективе я с большой вероятностью потеряю деньги; если мне удастся найти такие билеты по 8 долларов, тогда мне следует купить их как можно больше [166]. Сейчас почти никто не делает ставки на собачьих бегах, но механизм ожидаемой ценности один и тот же, что бы вы ни пытались оценить: билеты на бега, фондовые опционы, лотерейные билеты или страхование жизни.

Понятие ожидаемой ценности привлекло внимание математиков еще в середине XVII столетия, а к концу столетия эта идея была уже настолько изученной, что ее использовал даже такой ученый-практик, как Эдмунд Галлей, Королевский астроном Англии [167] {158}. Да, человек, который занимался кометами! Но он был также одним из первых ученых, изучавших вопрос правильного ценообразования страховых продуктов, что в период правления Вильгельма III было делом чрезвычайной важности. Англия с энтузиазмом вступила в войну на континенте, а война требовала денег. Парламент предложил добыть необходимые средства посредством принятого в 1692 году «Закона о миллионе», призванного собрать миллион фунтов за счет продажи пожизненных аннуитетов населению. Чтобы получить такой аннуитет, необходимо было заплатить короне изрядную сумму в обмен на гарантированные пожизненные ежегодные выплаты. Это своего рода страхование жизни наоборот: по существу, покупатели аннуитета делали ставку на то, что они в скором времени не умрут. Актуарная наука находилась в то время в зачаточном состоянии, поэтому стоимость аннуитета устанавливалась без учета возраста получателя аннуитета! [168] {159}Пожизненный аннуитет для дедушки, который мог получать ежегодные выплаты самое большее на протяжении десяти лет, имел такую же стоимость, что и аннуитет для ребенка.

Галлей был довольно грамотным ученым, чтобы понимать всю абсурдность схемы ценообразования, не зависящей от возраста. Он решил разработать более рациональный метод расчета стоимости пожизненного аннуитета. Проблема была в том, что люди не приходят в этот мир и не покидают его по такому же строгому графику, как это делают кометы. Однако, воспользовавшись статистическими данными рождаемости и смертности, он смог оценить вероятную продолжительность жизни каждого получателя аннуитета, а значит, и рассчитать ожидаемую ценность аннуитета: «Очевидно, что покупатель должен заплатить только за ту часть стоимости аннуитета, которая соответствует вероятной продолжительности его жизни; эту стоимость следует рассчитывать по годам, а сумма всех этих годовых значений даст стоимость аннуитета в расчете на продолжительность жизни рассматриваемого человека».

Другими словами, дедушка с его более короткой ожидаемой продолжительностью жизни платит за аннуитет меньше, чем его внук.

Когда я рассказываю людям историю об Эдмунде Галлее и о цене аннуитетов, меня часто прерывают словами: «Но это же очевидно, что молодым следует назначать более высокую цену!»

Нет, совсем не очевидно. Пожалуй, это действительно кажется очевидным, если вы, будучи современными людьми, уже кое о чем знаете. Сам факт, что люди, занимавшиеся аннуитетами, каждый раз упускали это из виду, – уже служит доказательством того, что на самом деле все не так очевидно. В математике есть множество идей, который сейчас кажутся очевидными (например, что отрицательные величины можно складывать и вычитать, что точку на плоскости полезно представлять в виде пары чисел, что вероятность неопределенных событий можно описать математически и манипулировать соответствующими значениями), однако в действительности они далеко не очевидны. Если все было бы так, все подобные идеи возникли бы не на столь позднем этапе развития человеческой мысли.

Наша тема напомнила мне старый случай, связанный с одним замечательным российским профессором, которого мы назывем профессором О, – эту историю любят рассказывать на математическом факультете Гарвардского университета. Профессор О дошел уже до середины вывода сложной алгебраической формулы, когда студент из заднего ряда поднял руку.

– Профессор, я не понял последнего шага. Почему эти два оператора коммутируют?

– Но ето есть очевидно [169], – слегка удивленно ответил профессор О.