Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

– Простите, профессор, но я на самом деле этого не вижу, – продолжал упорствовать студент.

Профессор О вернулся к доске и написал на ней еще несколько строк объяснения.

– Что мы должны сделать? Так вот, два оператора приведены к диагональному виду… ну, не совсем диагональному, но… минуточку…

Профессор О помолчал еще немного, уставившись на то, что было на доске, и почесывая подбородок. Затем он ушел в свой кабинет. Прошло около десяти минут. Студенты уже собирались уходить, когда профессор О вернулся и снова занял свое место у доски.

– Да, – удовлетворенно произнес он. – Да, ето есть очевидно [170].

В настоящее время американская государственная лотерея Powerball разыгрывается в сорока двух штатах, в округе Колумбия и на Виргинских островах США. Это невероятно популярная лотерея: иногда продается целых 100 миллионов билетов на один розыгрыш {160}. В Powerball играют бедные люди, в Powerball играют те, кто уже разбогател. В Powerball играет мой отец, бывший президент Американской статистической ассоциации, а поскольку он покупает билеты и для меня, значит, и я тоже играю.

Разумно ли это?

Шестого декабря 2013 года, когда я пишу эти строки, джекпот составляет довольно большую сумму, 100 миллионов долларов. И джекпот – это не единственный способ выиграть. Подобно многим другим лотереям, в Powerball действует многоуровневая система призов; более мелкие и чаще встречающиеся призы позволяют поддерживать у людей ощущение того, что в эту лотерею стоит играть.

С помощью ожидаемой ценности мы в состоянии сопоставить эти ощущения с математическими фактами. Вот как можно рассчитать ожидаемую ценность лотерейного билета за 2 доллара. Покупая билет, вы приобретаете следующее:

1 шанс из 175 000 000 выиграть джекпот 100 миллионов долларов;

1 шанс из 5 000 000 выиграть приз 1 миллион долларов;

1 шанс из 650 000 выиграть приз 10 тысяч долларов;

1 шанс из 19 000 выиграть приз 100 долларов;

1 шанс из 12 000 выиграть другой приз 100 долларов;

1 шанс из 700 выиграть приз 7 долларов;

1 шанс из 360 выиграть другой приз 7 долларов;

1 шанс из 110 выиграть приз 4 доллара;

1 шанс из 55 выиграть другой приз 4 доллара.

(Все эти данные можно получить на сайте Powerball, на котором есть также на удивление остроумная страница «Часто задаваемые вопросы», где можно найти нечто в таком роде: « Вопрос: заканчивается ли срок действия билетов Powerball? Ответ: да; Вселенная затухает, и ничто не вечно».)

Таким образом, ожидаемая сумма, которую вы можете выиграть, равна:

100 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет немногим менее 94 центов. Другими словами, с точки зрения ожидаемой ценности лотерейный билет не стоит ваших двух долларов.

Но это не конец истории, поскольку не все лотерейные билеты одинаковые. Когда джекпот составляет 100 миллионов долларов (как сегодня), ожидаемая ценность билета возмутительно низка. Но каждый раз, когда джекпот остается невостребованным, в призовой фонд поступает дополнительная сумма денег. Чем больше становится джекпот, тем больше людей покупают лотерейные билеты и тем больше вероятность того, что один из этих билетов сделает кого-то мультимиллионером. В августе 2012 года работник железной дороги из штата Мичиган Дональд Лоусон сорвал джекпот в размере 337 миллионов долларов {161}.

Когда главный приз становится настолько большим, ожидаемая ценность билета также увеличивается. Для того чтобы рассчитать эту ценность, достаточно подставить в приведенную выше формулу сумму 337 миллионов:

337 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет 2,29 доллара. Отныне игра в лотерею уже не кажется таким безнадежным делом. Насколько большим должен быть джекпот, чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета превысила его цену в два доллара? Теперь вы можете вернуться к учительнице, которая преподавала вам математику в восьмом классе, и сказать ей, что вы поняли, зачем нужна алгебра. Если мы обозначим величину джекпота буквой J , ожидаемая ценность билета равна:

J / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

или, если упростить эту формулу:

J / 175 миллионов + 36,7 цента.

В этот момент в игру вступает алгебра. Чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета оказалась больше двух долларов, которые вы на него потратили, необходимо, чтобы значение J / 175 миллионов было больше 1,63 доллара или что-то около этого. Умножив обе стороны на 175 миллионов, вы обнаружите, что пороговая величина джекпота составляет немногим более 285 миллионов долларов. Это не такое уж редкое событие: в 2012 году такой джекпот был три раза. Создается впечатление, что по большому счету игра в лотерею может быть неплохой идеей – если вы достаточно осмотрительны, чтобы играть только тогда, когда джекпот становится достаточно большим.