Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Но и это еще не конец истории. Вы не единственный человек в Америке, знакомый с алгеброй. И даже люди, не знающие алгебры, инстинктивно понимают, что лотерейный билет более заманчив, когда джекпот составляет 300 миллионов долларов, а не 80 миллионов. Как и всегда, математический подход – формализованная версия наших природных мысленных расчетов, продолжение здравого смысла другими средствами. В случае типичного розыгрыша с джекпотом 80 миллионов долларов может быть продано около 13 миллионов билетов. Но когда Дональд Лоусон выиграл 337 миллионов долларов, вместе с ним в лотерею играли еще около 75 миллионов человек [171].

Чем больше людей играет, тем больше людей выигрывают призы. Но джекпот только один. И если два человека угадали все шесть чисел, они должны разделить эти большие деньги.

Какова вероятность того, что вы выиграете джекпот и вам не придется им делиться? Для этого должны произойти две вещи. Прежде всего вы должны угадать все шесть чисел; вероятность сделать это составляет один шанс из 175 миллионов. Но недостаточно просто выиграть: все остальные должны проиграть .

Существует неплохая вероятность, что любой отдельно взятый игрок упустит джекпот – около 174 999 999 из 175 миллионов. Но если в игре принимает участие 75 миллионов игроков, существует довольно большая вероятность, что один из них сорвет джекпот.

Насколько велика эта вероятность? Чтобы определить это, давайте используем факт, с которым встречались уже не раз: если мы знаем вероятность одного события и знаем вероятность другого события и если эти два события независимы (наступление одного события не влияет на наступление другого), тогда вероятность наступления первого и второго событий равна произведению вероятностей наступления этих двух событий.

Слишком абстрактные рассуждения? Тогда рассмотрим их на примере лотереи.

Вероятность того, что я проиграю, составляет 174 999 999 из 175 000 000, а вероятность того, что мой отец проиграет, – 174 999 999 из 175 000 000. Следовательно, вероятность того, что мы оба проиграем, равна:

174 999 999 / 175 000 000 × 174 999 999 / 175 000 000,

или 99,9999994 %. Другими словами, как я и говорю своему отцу каждый раз, нам лучше не бросать работу.

Но какова вероятность того, что проиграют все 75 миллионов ваших соперников? Все, что мне нужно сделать, – это умножить 174 999 999 / 175 000 000 на себя 75 миллионов раз. Похоже на наказание за совершение особо тяжкого преступления. Но данную задачу можно существенно упростить, представив ее в виде степени, которую ваш компьютер вычислит мгновенно:

(174 999 999 / 175 000 000)75 миллионов = 0,651…

Следовательно, существует вероятность 65 %, что ни один из ваших товарищей по игре не выиграет, а это значит, что один из них все-таки может выиграть с вероятностью 35 %. Если это действительно произойдет, ваша доля от приза в размере 337 миллионов долларов составит ничтожных 168 миллионов. Что сокращает ожидаемую ценность джекпота до

65 % × 337 миллионов долларов + 35 % × 168 миллионов долларов = 278 миллионов долларов.

Это немного ниже пороговой величины джекпота в размере 285 миллионов долларов, которая делает джекпот стоящим того, чтобы играть в лотерею. А ведь во всех наших расчетах не учитывалась вероятность того, что джекпот сорвут более чем два игрока, когда большой приз пришлось бы разделить на еще большее количество частей. Возможность разбиения джекпота на части означает, что ожидаемая ценность лотерейного билета меньше, чем сумма, которую вы на него потратили, даже когда джекпот достигает 300 миллионов долларов. Если джекпот стал бы еще больше, ожидаемая ценность могла бы попасть в зону «оно того стоит» – или нет, если большой джекпот повлек бы за собой еще более высокий уровень продаж билетов [172]. Самый крупный джекпот в лотерее Powerball, составивший 558 миллионов долларов, выиграли два игрока, а самым большим джекпотом за всю историю США стал главный приз в размере 668 миллионов долларов в лотерее Mega Millions, который был разделен на три части.

А ведь мы еще не говорили ни о налогах, которые вы должны будете выплатить со своего выигрыша, ни о том, что выигрыш будет выплачиваться вам частями по определенной сумме в год, а если вы хотите получить всю сумму сразу, вам выплатят существенно меньше денег. И помните: лотерею организует государство, а государство многое о вас знает. Во многих штатах невыплаченные налоги или другие непогашенные финансовые обязательства оплачиваются из выигрыша по лотерее, прежде чем вы увидите хотя бы цент. Один мой знакомый, работающий в государственной лотерее, рассказал мне историю о человеке, который пришел в офис лотереи с подругой, чтобы получить деньги на свой выигрышный билет в размере 10 000 долларов и провести бурный уик-энд, предаваясь всевозможным городским удовольствиям. Когда он предъявил выигрышный билет, официальный представитель лотереи сообщил паре, что почти все призовые деньги, кроме нескольких сотен долларов, уже переведены для погашения невыплаченных алиментов на ребенка, которые этот человек был должен своей бывшей подруге.