Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

A x ² + B xy + C y ² + D x + E y + F = 0

для некоторых значений постоянных A, B, C, D, E и F . (Читатели, у которых возникнет такое желание, могут удостовериться, что с учетом нашего требования о возможности умножения двух, но не трех переменных другие типы алгебраических выражений недопустимы.) Создается впечатление, что это обеспечивает много вариантов – по сути, бесконечно много! Однако эти квадрики, оказывается, подразделяются на три основные категории: эллипсы, параболы и гиперболы [265]. Вот как они выглядят:

Мы встречаем три кривые снова и снова в качестве решения научных задач, и это не только орбиты планет, но и оптимальная конструкция изогнутых зеркал, траектория движения брошенного тела, форма радуги.

Эти кривые можно встретить даже за пределами науки. Мой коллега Майкл Харрис, известный специалист по теории чисел из Института математики Жюсье в Париже, выдвинул предположение, что три главных романа Томаса Пинчона связаны с тремя коническими сечениями: в романе Gravity’s Rainbow («Радуга земного тяготения») [266]идет речь о параболах (все эти ракеты, которые взлетают и падают!); в романе Mason & Dixon («Мэйсон и Диксон») – об эллипсах; в романе Against the Day («На день погребения Моего») [267] – о гиперболах {224}. Эта теория кажется мне такой же хорошей, как и все остальные об организации этих романов, которые я встречал. Безусловно, Пинчону, изучавшему в свое время физику и любившему упоминать в своих романах о ленте Мебиуса и о кватернионах, хорошо известно, что такое конические сечения.

Гальтон обратил внимание на то, что кривые, которые он нарисовал от руки, похожи на эллипсы, но он не был настолько большим знатоком геометрии, чтобы быть уверенным в том, что это именно та кривая, а не любая другая более или менее овальная фигура. Не потакает ли он своему стремлению сформулировать элегантную и универсальную теорию воздействия на восприятие собранных данных? Он был бы не первым и не последним ученым, совершившим такую ошибку. Гальтон, будучи неизменно осмотрительным, обратился за советом к математику из Кембриджского университета Джеймсу Дугласу Гамильтону Диксону. Он пошел даже на то, чтобы скрыть происхождение данных, представив все как задачу из области физики, чтобы исключить предвзятое мнение Диксона в отношении того или иного конкретного вывода. К великому удовольствию Гальтона, Диксон быстро подтвердил тот факт, что эллипс – это не просто кривая, подразумеваемая собранными данными, а кривая, присутствия которой требует теория. Гальтон писал:

Возможно, эта задача была не такой уж трудной для опытного математика, но я никогда не встречал такого теплого чувства доверия и уважения по отношению к независимости и размаху математического анализа, как в тот момент, когда пришел его ответ, посредством чистых математических рассуждений подтверждающий все многообразие моих кропотливых статистических выводов с гораздо большей тщательностью, чем я смел надеяться, поскольку данные были несколько грубыми и мне пришлось крайне осторожно сглаживать их {225}.

Гальтон быстро понял, что идея корреляции не ограничивается изучением наследственности и применима к любой паре характеристик, которые могут быть так или иначе связаны друг с другом.

Получилось так, что в распоряжении Гальтона оказалась огромная база данных анатомических параметров такого рода, которые в конце XIX столетия пользовались большой популярностью благодаря работе Альфонса Бертильона. Бертильон был французским криминологом, у которого было много общего с Гальтоном: он придерживался сугубо количественного взгляда на человеческую жизнь и был убежден в преимуществах такого подхода [268]. В частности, Бертильона поразил бессистемный и беспорядочный способ идентификации преступников, который использовала в то время французская полиция. Насколько лучше и современнее, рассуждал Бертильон, было бы связать с каждым правонарушителем ряд числовых параметров, таких как длина и ширина головы, длина пальцев и стоп и так далее. Согласно системе Бертильона каждого арестованного подозреваемого измеряли, а его данные записывали на карточки и сохраняли для использования в будущем. Теперь, если этого человека снова задержат, все, что нужно для его идентификации, – это взять кронциркуль, сделать необходимые измерения и сравнить их с карточками в его деле. «Ага, мистер 15-6-56-42, вы думали, вам удастся сбежать, не так ли?» Вместо имени можно использовать псевдоним, но не существует псевдонимов для формы головы.