Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Критика Хотеллинга носила вежливый, но твердый характер, а его слова были наполнены скорее печалью, чем гневом: он пытался самым вежливым способом объяснить уважаемому коллеге, что тот зря потратил десять лет своей жизни. Однако Секрист не понял намека. В следующем выпуске Journal of the American Statistical Association было опубликовано недовольное ответное письмо, в котором Секрист отметил, что в критическом обзоре Хотеллинга присутствует несколько заблуждений, а в остальном он просто упустил самое главное. Секрист упорно продолжал настаивать на том, что возврат к посредственности – это не просто общий статистический закон, а скорее закон, распространяющийся на «данные, подверженные влиянию конкурентного давления и управленческого контроля». После этого Хотеллинг перестал быть вежливым и высказался открыто: «Тезис этой книги, – написал он в ответ, – если правильно его интерпретировать, по существу тривиален… “Доказательство” такого математического результата посредством дорогостоящего и длительного численного исследования соотношения прибылей и затрат в компаниях разных типов аналогично доказательству таблицы умножения посредством размещения слонов рядами и колоннами, а затем выполнению таких же операций со многими другими видами животных. Такое представление, возможно забавное и имеющее определенную педагогическую ценность, не вносит ценного вклада ни в зоологию, ни математику».

Трудно судить Секриста слишком строго. Самому Гальтону понадобилось около двадцати лет, чтобы полностью понять смысл регрессии к среднему значению. Многие ученые неправильно восприняли идеи его основного труда. Во время лекции в 1905 году биометрист Уолтер Уэлдон, который сделал себе имя доказательством, что выводы Гальтона в отношении изменчивости человеческих качеств применимы в равной степени и к креветкам, сказал о его работе следующее:

Мало кто из биологов, предпринимавших попытки применить его методы, взял на себя труд понять процесс, который привел его к ним, и мы постоянно слышим, что о регрессии говорят как о свойстве живых существ, под воздействием которого интенсивность вариаций снижается в процессе их передачи от родителя к ребенку, а вид в целом остается тем же. Эта точка зрения может показаться убедительной тем, кто считает, что среднее отклонение детей меньше среднего отклонения родителей. Но, если такие люди вспомнят другой очевидный факт, что существует регрессия, направленная от родителей к детям, в силу которой родители атипичных детей обычно менее атипичны, чем их дети, им придется либо отнести свойство регрессии к числу жизненно важных свойств, посредством которых дети сокращают атипичность родителей, либо осознать истинную природу феномена, который они пытаются обсуждать {216}.

Биологи искренне считают, что регрессия связана с биологией, специалисты по теории управления (такие как Секрист) предпочитают связывать ее с конкуренцией, литературные критики приписывают ее творческому истощению – но дело не в этом. Все дело в математике.

И тем не менее, несмотря на разъяснения Хотеллинга, Уэлдона и самого Гальтона, смыл регрессии к среднему так и не был понят до конца. Суть этого феномена передается неправильно не только на спортивной странице Wall Street Journal; ровно то же происходит даже с учеными. Один особенно яркий пример можно найти в статье о лечении дивертикулеза посредством отрубей, опубликованной в 1976 году в British Medical Journal {217}. (Мне уже немало лет, и я хорошо помню, как в 1976 году приверженцы здорового образа жизни говорили об отрубях с таким же благоговением, с каким сейчас говорят о жирных кислотах омега-3 и антиоксидантах.) Авторы этой статьи фиксировали «время прохождения орально-анального пути» каждого пациента (другими словами, время, за которое пища проходит по телу от входа до выхода) до и после лечения отрубями. Они пришли к выводу, что отруби оказывают заметное регуляторное воздействие. «У всех пациентов с быстрым прохождением пищи этот процесс замедлился до 48 часов… у пациентов со средним периодом прохождения не было замечено никаких изменений… а у пациентов с медленным прохождением процесс ускорился до 48 часов. Таким образом, отруби способствовали изменению как медленного, так и быстрого времени прохождения до среднего значения 48 часов». Разумеется, в точности такого же результата следовало ожидать, если отруби не оказывали бы никакого воздействия. Мягко говоря, у всех нас есть дни, когда пища проходит медленно, и дни, когда это происходит быстро, в каком бы состоянии ни был наш желудочно-кишечный тракт. За необычно быстрым прохождением пищи в понедельник может последовать среднее прохождение во вторник, независимо от того, были в меню отруби или нет [257].