Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Я пишу эти строки в апреле, в начале бейсбольного сезона, когда каждый год нам преподносят целый букет информационных материалов, повествующих, какие игроки «близки» к достижению невообразимых рекордных результатов. Сегодня из передачи на канале ESPN я узнал, что Мэтт Кемп «готов к яркому началу, обеспечив среднюю результативность отбивания 0,460 и будучи близким к достижению таких показателей, как 86 хоумранов [253], 210 ранов по его удару (RBI) и 172 засчитанные пробежки» {211}. Данные показатели – совершенно поразительные, поскольку никто за всю историю Главной лиги бейсбола не выбивал больше 73 хоумранов за один сезон, – типичный пример ложной линейности. Это напоминает такую текстовую задачу: «Если Марсия может покрасить 9 домов за 17 дней и у нее есть 162 дня на то, чтобы покрасить как можно больше домов…»

Кемп выбил девять хоумранов в первых семнадцати матчах команды «Доджерс» [254], что составило 9/17 ранов на один матч. Таким образом, даже алгебраист-любитель мог бы записать следующее линейное уравнение:

H = G × (9 / 17),

где H – количество хоумранов, которые делает Кемп за весь сезон, а G – количество матчей, которые проводит его команда. Бейсбольный сезон состоит из 162 матчей. Следовательно, если G равно 162, получится 86 (или скорее 85,7647, но 86 – самое близкое целое число).

Однако не все линии прямые. Мэтт Кемп не выбьет 86 хоумранов в текущем году. И именно регрессия к среднему объясняет почему. В любой момент сезона лучший игрок лиги по количеству хоумранов скорее всего действительно хорошо выбивает хоумран. На самом деле по истории игры Мэтта Кемпа мы можем судить, что ему присущи врожденные качества, позволяющие постоянно отбивать бейсбольный мяч с поразительной силой. Однако, по всей вероятности, лучшему игроку лиги по количеству хоумранов порой просто везет, поэтому, какой бы ни была его результативность в лиге, можно предположить, что на протяжении сезона она может упасть.

По правде сказать, на канале ESPN никто не считает, что Мэтт Кемп выбьет 86 хоумранов. Все эти заявления о близости к рекордным показателям, сделанные в апреле, обычно озвучиваются в полушутливом тоне: «Разумеется, он этого не сделает, но что если бы он попытался?» Однако по мере того, как лето проходит, таких разговоров становится все больше, пока посередине сезона люди не начинают вполне серьезно относиться к использованию линейного уравнения для прогнозирования статистических показателей игрока к концу года.

Однако это ошибочный подход. Если существует регрессия к среднему в апреле, то будет регрессия к среднему и в июле.

Профессиональные бейсболисты понимают это. Когда во время интервью New York Times Дереку Джитеру задали вопрос, близок ли он к тому, чтобы побить рекорд Пита Роуза по количеству хитов за всю карьеру, он ответил: «Знаете, какая худшая фраза в спорте? “Близок к рекорду”». Мудрые слова!

Постараемся сформулировать все это менее отвлеченно. Если я лучший игрок Американской лиги по количеству хоумранов в матче всех звезд, сколько хоумранов я предположительно должен сделать за оставшуюся часть сезона?

Матч всех звезд делит бейсбольных сезон на «первую половину» и «вторую половину», только вторая половина на самом деле немного короче: в последние годы она составляет от 80 до 90 % продолжительности первой половины. Следовательно, вы можете рассчитывать, что во второй половине я сделаю около 85 % от количества хоумранов, сделанных в течение первой половины [255].

Однако этого ожидать не следует – так гласит история. Чтобы понять происходящее, я проанализировал показатели лучших игроков Американской лиги по количеству хоумранов за девятнадцать сезонов в период 1976–2000 годов {212}. Только три игрока (Джим Райс в 1978 году, Бен Огилви в 1980 году и Марк Макгвайр в 1997 году) после матча всех звезд выбили 85 % от количества хоумранов, сделанных на протяжении первой половины сезона. И только хиттер Микки Тетлтон во время матча всех звезд сезона 1993 года выбил двадцать четыре удара при возвращении на исходную позицию, умудрившись при этом сделать только восемь таких ударов в течение оставшейся части сезона. Сильные отбивающие в среднем делали во второй половине сезона по 60 % хоумранов от количества хоумранов в первой половине, когда они показали лучшие результаты в лиге. Такое падение результативности объясняется не усталостью или августовской жарой: если это действительно было так, количество хоумранов существенно сокращалось бы по всей лиге. Все дело в регрессии к среднему.