Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Если r – радиус большого круга, то площадь этого круга – πr 2.

Радиус кругов меньшего размера равен половине радиуса большого круга, а значит, площадь каждого малого круга составляет

Превосходно! Площадь малого круга равна четвертой части большого круга, следовательно, площадь четырех малых кругов равна площади большого круга. Эквивалентность площадей чрезвычайно полезна, поскольку на нашем рисунке изображены четыре малых круга.

Малые круги перекрывают друг друга. Чему равна общая площадь четырех пересекающихся кругов? Площади четырех малых кругов ( πr 2) за вычетом площади областей пересечения, то есть площади четырех линз.

1. Площадь пересекающихся кругов = πr 2 – площадь линз.

Мы также видим, что площадь пересекающихся кругов равна площади большого круга ( πr 2) за вычетом площади крыльев.

2. Площадь пересекающихся кругов = πr 2 – площадь крыльев.

Объединив оба уравнения, получим:

πr 2 – площадь линз = πr 2 – площадь крыльев.

Из этого следует, что площадь линз равна площади крыльев. Поскольку есть четыре крыла равного размера и четыре линзы равного размера, площадь одного крыла равна площади одной линзы.

К тексту

Идеальное совмещение кругов друг с другом на рисунке – не только то, что делает изображение столь привлекательным, но еще и ключ к решению головоломки, так как у нас есть возможность сравнивать радиусы кругов.

Обозначим круги в порядке возрастания размера символами A, B, C, D и E, а их радиусы – a, b, c, d и e. Наша задача – выразить d через a.

На первом рисунке я выделил жирным три отрезка. Вертикальный отрезок – это радиус круга D, обозначенного пунктиром, но этот же отрезок соответствует четырем радиусам круга A и трем радиусам круга B. Следовательно, мы можем записать такое уравнение:

[1] d = 4 a + 3 b.

Аналогично два других отрезка, радиусы круга E, также можно выразить через радиусы других кругов:

[2] e = 4 a + 5 b ;

[3] e = b + 2 c.

Хитрость заключается в том, чтобы понять (благодаря изображению ромба на втором рисунке), что:

[4] 4 a + 2 b = b + c.

Мы имеем четыре уравнения с пятью неизвестными. Поскольку нам нужно выразить d через a , избавимся от других членов уравнений.

Во-первых, мы можем исключить e , приравняв выражения [2] и [3]:

4 a + 5 b = b + 2 c.

Следовательно,

4 a + 4 b = 2 c , или

[5] 2 a + 2 b = c.

Подстановка c в уравнение [4] даст такой результат:

4 a + 2 b = b + 2 a +2 b , или

[6] 2 a = b.

А подстановка в уравнение [1] дает:

d = 4 a + 6 a = 10 a.

Это и есть ответ: радиус круга D в десять раз больше радиуса круга A.

К тексту

Я обозначил круги разных размеров символами A, B и C, а их радиусы – a, b и c. Стратегия решения задачи заключается в том, чтобы сначала выразить радиус b через a , а затем c через b , что позволит нам доказать, что с = 2 a.

На рисунке я обозначил пунктирной линией треугольник, длина гипотенузы которого равна b + a , поскольку она состоит из радиусов соответствующих кругов, а длина двух других сторон – b и 2 b – a. Вторую длину можно вывести исходя из того, что эта сторона треугольника равна половине стороны квадрата, длина которой должна быть равна 4 b , за вычетом радиуса круга A.

Теорема Пифагора гласит, что во всех прямоугольных треугольниках квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а значит:

( b + a ) 2 = b 2 + (2 b – a ) 2.

Это уравнение можно представить в таком виде:

b 2 + 2 ab + a 2 = b 2 + 4 b 2 – 4 ab + a 2.

Сократим его до:

6 ab = 4 b 2.

Затем сократим еще раз:

3 a = 2 b.

И наконец, получим решение:

Таким образом, мы выразили b через a.