Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Роуз Болл утверждал, что с помощью четырех четверок можно составить все числа до 170. До выхода издания 1917 года Роуз Болл был поглощен работой над этой головоломкой. «Если мы допустим использование целых показателей степени и применение факториалов, – писал он, – то сможем добраться до числа 877». Далее он отметил: «С помощью четырех единиц мы можем получить число 34, четырех двоек – число 36, четырех троек – число 46, четырех пятерок – число 36, четырех шестерок – 30, четырех семерок – 25, четырех восьмерок – 36, четырех девяток – 130». Интересно, что с помощью четырех четверок можно зайти дальше всего.

Удалось ли кому-либо сделать это? Да! На протяжении следующего десятилетия математик и физик Поль Дирак (с ним мы уже встречались в конце предыдущей главы) решил задачу о четырех четверках для всех чисел до бесконечности. Его решение касалось задачи с четырьмя двойками – в то время она была весьма популярна в Кембридже, – но оно верно и для задачи о четырех четверках.

Если разрешено применять логарифмы, то любое число n можно представить в следующем виде: где n – количество квадратных корней в выражении. (Не огорчайтесь, если не понимаете логарифмы; вам нужно всего лишь по достоинству оценить поразительную лаконичность и масштабируемость решения.) Дираку нравились математические головоломки, и, по всей вероятности, он был в восторге от того, что ему удалось обобщить знаменитую задачу с помощью столь изобретательной формулы. «Он сделал эту задачу бессмысленной», – писал Грэм Фармело в биографии Поля Дирака The Strangest Man («Самый странный человек»).

В 1882 году, через год после первой публикации задачи с четырьмя четверками в журнале Knowledge, американский «импресарио» головоломок Сэм Лойд опубликовал «задачу Колумба» – самую замечательную и самую абсурдную из всех задач категории «заданы числа – найдите операции». За лучшее решение он предложил приз в размере 1000 долларов (около 20 тысяч фунтов в современном эквиваленте) – и получил только два правильных ответа из нескольких миллионов. Во всяком случае, так он утверждал. Лойд был столь же талантлив в вопросах саморекламы, как и в изобретении головоломок. Я привожу здесь эту головоломку для полноты картины, а не потому, что думаю, будто вы сможете ее решить. Ну же, докажите, что я не прав!

Ответ

Расположите следующие семь цифр и восемь точек таким образом, чтобы их сумма была как можно ближе к числу 82.

∙4 5 6 7 9 0

Точки можно использовать двумя способами: во-первых, в качестве десятичного разделителя; во-вторых, в качестве символа периода десятичной дроби, который ставится над цифрой или цифрами. Если точка стоит над одной цифрой, значит, данная цифра повторяется бесконечно. Другими словами, можно записать как вместо 0,3333… Если точка стоит над двумя цифрами, бесконечно повторяется последовательность цифр, которая начинается с первой цифры и заканчивается последней. Таким образом, можно записать как вместо 0,142857142857142857…

Итак, начало положено. Но прежде чем двигаться дальше, попробуйте решить следующую головоломку, чтобы нейтрализовать послевкусие.

Ответ

Можете ли вы получить число 24 из цифр 3, 3, 8 и 8?

Разрешается использовать только основные математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление и внесение выражений в скобки.

Несколько лет назад следующая головоломка с числами распространилась словно вирус. Ее предваряли такими словами: «Дошкольники могут решить эту задачу за пять – десять минут, программисты – за час, а люди с высшим образованием… что же, проверьте сами!» Не уверен, что эти слова получили научное подтверждение, но они действительно вызывали желание решить задачу.

Ответ

Найдите пропущенное число.