Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

2. 5 x + 4 y + z /4 = 100 (потому что общая сумма составляет 100 единиц).

Как правило, для решения подобных уравнений (в школе их называют системой уравнений ) необходимо столько уравнений, сколько есть переменных. Например, для трех переменных нам понадобится три уравнения.

В данном случае у нас два уравнения. Однако уравнение предоставляет нам дополнительную информацию, позволяющую решить задачу. Мы можем исходить из того, что птицы не продаются половинами, четвертями и что их количество не может обозначаться отрицательной величиной. (Давайте предположим, что нам необходимо купить как минимум одну особь.) Следовательно, значения x, y и z должны быть натуральными числами и, разумеется, меньше 100.

Приступим к работе. Умножьте второе уравнение на четыре, чтобы избавиться от дроби:

(1) 20 x + 16 y + z = 400.

После нескольких операций «восстановления» получится, что

z = 400 – 20 x – 16 y.

Подставив это значение вместо z в уравнении (1), получим:

(2) x + y + 400 – 20 x – 16 y = 100.

Это уравнение можно привести к такому виду:

19 x + 15 y = 300.

Теперь у нас есть одно уравнение с двумя переменными, которое можно решить с учетом других условий. Единственные положительные целые значения x и y , которые мы можем в него подставить, найденные методом проб и ошибок, – это x = 15 и y = 1. (Обратите внимание: 300 делится на 5, а значит, 19 x + 15 y тоже делится на 5, поэтому x должно быть кратным 5. Этому условию отвечают только значения x = 5, 10 и 15, но подстановка первых двух значений не позволяет решить уравнение.) Следовательно, z = 100 – x – y = 100 – 16 = 84.

Ответ: за 100 денежных единиц можно купить 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка.

В своем труде Абу Камил пишет, что в зависимости от цены трех птиц у этой задачи иногда есть одно решение (как в данном примере), а порой ни одного или, наоборот, несколько. В пример он приводит следующую задачу.

Если утка стоит 2 драхмы [21], голубь – половину, а куры треть драхмы, сколько уток, кур и голубей у вас будет, когда вы купите 100 птиц за 100 драхм?

Помимо изобретения новой математики средневековые арабские ученые также приняли индийскую систему счисления, состоящую из десяти цифр, включая ноль. Арабские цифры (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0) пришли в Европу примерно в XIII веке. Одной из первых европейских книг, где они использовались, была Liber Abaci («Книга абака», или «Трактат по арифметике») итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибон а ччи). Этот труд содержит сведения о вычислениях и измерениях, а также математические головоломки, в том числе задачи о птицах, такие как следующая.

Купите 30 птиц за 30 динариев: куропаток по 3 динария, голубей по 2 динария и воробьев по ½ динария. Эта задача решается замечательным образом, поэтому предоставляю вам возможность сделать это самостоятельно.

На протяжении трех следующих столетий почти все авторитетные математики эпохи Возрождения предложили свои варианты этой задачи, где шла речь о покупке дроздов, жаворонков, иволг, мухоловок, скворцов, гусей, каплунов и прочих пернатых. Такие задания оказались не только занимательным развлечением, но и обеспечили нас данными об истории южно-европейской орнитологии и гастрономии.

Решив одну задачу о птицах, вы сможете решить их все; для этого необходимо просто записать условия в виде системы уравнений и найти ответ в виде целых чисел.

Во многих других головоломках ситуацию также следует представить как систему уравнений. Как правило, в них не хватает уравнений для всех переменных, поэтому при решении приходится полагаться на тщательно продуманный метод проб и ошибок или математическое озарение. Следующая задача – моя любимая, причем не только потому, что количество данных кажется невероятно скудным (всего два уравнения на четыре переменные), но и потому, что фигурирующее в ней число имеет непосредственное отношение к известному бренду.

Ответ

[22]

Покупатель заходит в магазин 7-Eleven и покупает несколько товаров.

– С вас 7,11 фунта, – говорит кассир.

– Забавно… – отвечает покупатель.

– Да, – говорит кассир, – я только перемножил цены этих четырех товаров.

– А разве вы не должны были их сложить?