Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Варианты ответов:а) 1:1; б) 4:3; в) 3:2; г) 2:1; д) 4:1.

Ответ

В этой главе я собрал головоломки, в основе которых лежит происходящее в реальном мире. В одних задействованы знакомые объекты, например чаши, кувшины, фитили и картофель. Другие описывают ситуации из повседневной жизни, такие как соревнования по бегу, полет на самолете, а также поход за покупками. С этой старейшей из всех задач в этой книге мы и начнем.

Если петух стоит 5 денежных единиц, курица 4 единицы, а цыпленок ¼ единицы, сколько петухов, кур и цыплят можно купить за 100 единиц так, чтобы всего получить 100 пернатых?

Китайский математик Чжэнь Луань придумал эту задачу в середине VI века, хотя впервые подобные задачи (как приобрести 100 животных трех видов за 100 денежных единиц) появились столетием ранее, и тоже в Китае.

Это замечательная головоломка: удивительно лаконичная, с неочевидным решением. Проверив в уме несколько чисел, вы совсем запутаетесь. Любимая загадка китайцев о сотне животных распространилась в Индии, на Ближнем Востоке и в Европе. Сборник головоломок Алкуина под названием «Задачи для развития молодого ума», о котором я уже упоминал, содержит три варианта этой головоломки: продаются кабаны, свинки и поросята по десять, пять и половине динария; лошади, коровы и овцы – по три солида [20], одному и двадцать четвертой части солида; верблюды, ослы и овцы по пять, одному и двадцатой части солида. Последний вариант, возможно, отдавая должное происхождению головоломки, Алкуин называет задачей восточного торговца.

Современные читатели при решении подобных задач сразу же представят их в виде уравнений. Если вы покупаете х петухов, y кур и z цыплят, то вопрос Чжэнь Луаня можно перефразировать так:

1. x + y + z = 100 (поскольку всего должно быть 100 птиц).

2. 5 x + 4 y + z /4 = 100 (потому что общая сумма составляет 100 единиц).

Решив эти уравнения, вы получите ответ.

Чжэнь Луань, Алкуин и их современники решали задачи такого рода посредством догадок, проб и ошибок. У них не было возможности использовать алгебру, поскольку после крушения античной цивилизации эта наука надолго прервала свое развитие и начала возрождаться сначала на Востоке с IX века, а потом и в Европе. Однако решать подобные задачи с помощью уравнений гораздо проще и, пожалуй, интереснее. В задачах о сотне животных мне нравится именно то, что они одними из первых демонстрировали огромную силу алгебраических методов. Эти головоломки сыграли определенную роль в развитии и распространении новых математических методов, причем не только в виде блестящего доказательства их эффективности, но и в качестве интересных логических проблем, которые потребовали от математиков средних веков и эпохи Возрождения более глубокого анализа.

Алгебра – раздел математики, в котором числа и величины представлены в уравнениях в виде символов, например x, y и z. Слово «алгебра» происходит от арабского al-jabr – «восстановление». Багдадский ученый IX столетия Аль-Хорезми использовал это слово для обозначения математической операции, которая в современной науке подразумевает взятие какого-нибудь члена из одной части уравнения и его «восстановление» в другой. С помощью восстановления и других операций Аль-Хорезми разработал методы решения простых уравнений.

Египетский математик Абу Камил, живший в IX–X веках, написал ряд работ с подробным анализом идей Аль-Хорезми. В одной из них шла речь о задачах с покупкой 100 птиц за 100 денежных единиц. «Мне известен тип задач, который может показаться захватывающим, оригинальным и притягательным людям как высокого, так и низкого положения, как ученым, так и безграмотным, – писал он. – Однако, обсуждая друг с другом решения, люди обмениваются не совсем верными суждениями и догадками, поскольку не видят наглядного принципа или системы… Чтобы сделать этот вопрос понятнее, я решил написать книгу».

Давайте решим эту задачу. У нас есть два уравнения:

1. x + y + z = 100 (поскольку всего должно быть 100 птиц).