Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Каждому из этих рядов Σ соответствует точка пространства: таким образом, двум рядам Σ и Σ’ будут соответствовать две точки M и М’ . Средства, которыми мы располагаем до сих пор, позволяют нам узнать, что M и М’ неразличимы в двух случаях: 1) если Σ тождествен с Σ’; 2) если Σ’ = Σ + S + S’ , причем S и S’ взаимно обратимы. Если бы во всех других случаях мы считали M и М’ различными, то совокупность точек имела бы столько измерений, сколько и совокупность различных рядов Σ, т. е. гораздо больше 3.

Для тех, кто уже знаком с геометрией, легко было бы уяснить это следующим образом. Между рядами мыслимых мускульных ощущений есть такие, которые соответствуют рядам движений, при которых палец не шевелится. Я говорю, что если не считать различными ряды Σ и Σ + σ, где ряд σ соответствует таким движениям, при которых палец не шевелится, то совокупность рядов составит непрерывность трех измерений, но если ряды Σ и Σ’ считать различными, исключая тот случай, когда Σ’ = Σ + S + S’ , где S и S’ обратимы, то совокупность рядов составит непрерывность более чем трех измерений.

В самом деле, пусть мы имеем в пространстве поверхность A , на этой поверхности линию B , на этой линии точку M ; пусть C 0– совокупность всех рядов Σ; пусть C 1– совокупность всех таких рядов Σ, что в конце соответствующих движений палец находится на поверхности A ; пусть также C 2и C 3– совокупности таких рядов Σ, что в конце палец оказывается на B и в M . Прежде всего, ясно, что C 1составит купюру, которая разделит C 0, и что C 2будет купюрой, которая разделит C 1, и C 3– купюра, которая разделит C 2. Отсюда следует, по нашим определениям, что если C 3есть непрерывность n измерений, то C 0будет физической непрерывностью n + 3 измерений.

Пусть же Σ и Σ’ = Σ + σ будут два ряда, входящие в состав C 3; для обоих в конце движений палец находится в M ; отсюда следует, что в начале и в конце ряда σ палец находится в той же точке M ; следовательно, ряд σ – один из тех рядов, которые соответствуют движениям, когда палец не шевелится. Если Σ и Σ + σ не считать различными, то все ряды C 3сольются в один, поэтому C 3будет иметь 0 измерений и C 0, как я хотел доказать, будет иметь 3 измерения. Если же, напротив, Σ и Σ + σ я не считаю сливающимися (исключая тот случай, когда σ = S + S’ , где S и S’ обратимы), то ясно, что C 3будет содержать в себе множество рядов различных ощущений, ибо при полной неподвижности пальца тело может принимать много различных положений. Тогда C 3образует непрерывность и C 0будет иметь более трех измерений, а это я и хотел доказать.

Не будучи еще знакомы с геометрией, мы не можем рассуждать таким образом; мы можем только констатировать. Но тогда возникает вопрос, как, еще не зная геометрии, мы научились отличать от других те ряды σ, где палец остается неподвижным; ведь в самом деле, только установив это различие, мы получим возможность рассматривать Σ и Σ + σ как тождественные, а только при таком условии, как мы видели, можно прийти к пространству трех измерений.

Мы научились различать ряды σ, потому что часто бывает, что когда мы совершили движения, которые соответствуют этим рядам мускульных ощущений σ, тогда осязательные ощущения, переданные нам нервом пальца, который мы назвали первым пальцем, продолжаются, и эти движения не изменяют их. Опыт учит нас этому, и только он один мог научить нас этому.

Ряды мускульных ощущений S + S’ , образованные соединением двух обратных рядов, мы отличали потому, что они сохраняли совокупность наших впечатлений; если теперь мы различаем ряды σ, так это потому, что они сохраняют некоторые из наших впечатлений. (Когда я говорю, что ряд мускульных ощущений S «сохраняет» одно из наших впечатлений A , то я хочу сказать, что мы устанавливаем, что если испытываем впечатление A , а потом мускульные ощущения S , то мы еще будем испытывать впечатление A после этих ощущений S .)

Выше я сказал – часто бывает, что ряды σ не изменяют осязательных впечатлений, испытываемых нашим первым пальцем; я сказал – часто , но не сказал – всегда ; это мы выражаем на нашем обычном языке, говоря, что осязательное впечатление не изменилось бы, если бы палец не пошевелился, при условии , что предмет A , который соприкасался с этим пальцем, также не пошевелился. Ранее знакомства с геометрией мы не можем дать этого объяснения; мы, можем только констатировать, что впечатление удерживается часто, но не всегда.