Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Посмотрим, что отсюда вытекает. Я рассматриваю ряд мускульных ощущений Σ; этому ряду будет соответствовать одна точка M первого тактильного пространства. Теперь возьмем два ряда S и S’ , взаимно обратные, о которых мы только что говорили. Ряду S + Σ + S’ будет соответствовать одна точка N второго тактильного пространства, потому что какому-нибудь ряду мускульных ощущений, как мы сказали, соответствует одна точка либо в первом, либо во втором пространстве.

Я намерен рассматривать две определенные таким образом точки M и N как соответствующие друг другу. Что дает мне право на это? Для того чтобы это соответствие было допустимо, нужно, чтобы при существовании тождества двух точек M и М’ , соответствующих в первом пространстве рядам Σ и Σ’, было также тождество двух соответствующих точек N и N’ второго пространства, т. е. тождество двух точек, соответствующих двум рядам S + Σ + S’ и S + Σ’ + S’ . И мы сейчас увидим, что это условие выполнено.

Сделаем сначала одно замечание. Так как S и S’ взаимно обратимы, то S + S’ = 0, следовательно,

S + S’ + Σ = Σ + S + S’ = Σ,

или еще

Σ + S + S’ + Σ’ = Σ + Σ’;

но из этого не следует, чтобы S + Σ + S’ = Σ, потому что, хотя мы и воспользовались знаком сложения для того, чтобы представить последовательность наших ощущений, однако ясно, что порядок этой последовательности не безразличен; поэтому мы не можем, как в обыкновенном сложении, менять порядок членов; короче говоря, наши операции ассоциативны, но не коммутативны.

Если так, то для того, чтобы Σ и Σ’ соответствовали той же самой точке М = М’ первого пространства, необходимо и достаточно, чтобы Σ’ = Σ + σ тогда будем иметь

S + Σ’ + S’ = S + Σ + σ + S’ = S + Σ + S’ + S + σ + S’.

Но мы только что констатировали, что S + σ + S’ есть один из рядов σ’. Следовательно, получим

S + Σ’ + S’ = S + Σ + S’ + σ’,

а это значит, что ряды S + Σ’ + S’ и S + Σ + S’ соответствуют одной и той же точке N = N’ второго пространства, что и требовалось доказать.

Итак два наших пространства соответствуют друг, другу, точка – точке; они могут быть «преобразованы» одно в другое; они изоморфны; как мы пришли к заключению об их тождестве?

Рассмотрим два ряда σ и S + σ + S’ = σ’. Я сказал, что часто, но не всегда, ряд σ сохраняет осязательное впечатление A , испытываемое пальцем D ; а также часто (но не всегда) бывает, что ряд σ’ сохраняет осязательное впечатление A’ , испытываемое пальцем D’ . И я констатирую, что очень часто (т. е. гораздо чаще, чем то, что я сейчас назвал «часто») бывает, что если ряд σ сохранил впечатление A пальца D , то ряд σ’ сохраняет в то же самое время впечатление A’ пальца D’ ; и обратно – что если первое впечатление изменилось, то изменилось и второе. Это бывает очень часто , но не всегда.

Мы объясняем этот экспериментальный факт, говоря, что неизвестный предмет a , который вызывает ощущение A в пальце D , тождествен с неизвестным предметом a’ , который вызывает ощущение A’ в пальце D’ . И в самом деле, когда первый предмет шевелится, о чем нам дает знать исчезновение впечатления A , второй также шевелится, потому что впечатление A’ также исчезает. Когда первый предмет остается неподвижным, неподвижным остается и второй предмет. Если эти два предмета тождественны, то – так как первый находится в точке M первого пространства, второй же в точке N второго пространства, – это значит, что эти две точки тождественны. Вот как мы пришли к представлению о тождества этих двух пространств; или – лучше – вот что мы хотим сказать, когда говорим, что они тождественны. Сказанное только что о тождестве двух тактильных пространств избавляет нас от исследования вопроса о тождестве тактильного пространства и пространства визуального, так как он рассматривался бы тем же самым способом.

Можно подумать, что я скоро дойду до заключений, согласных с идеями эмпириков. Действительно, я старался изложить роль опыта и проанализировать те экспериментальные факты, которые оказывают влияние на происхождение пространства трех измерений. Но какова бы ни была важность этих фактов, есть одно обстоятельство, которого нам не следует забывать и на которое, впрочем, я не один раз обращал внимание. Эти экспериментальные факты сбываются часто, но не всегда. Очевидно, это не значит, что пространство часто, но не всегда имеет три измерения.