Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Откуда же мы знаем, что эта непрерывность перемещений имеет шесть измерений? Мы знаем это из опыта.

Легко было бы описать опыты, благодаря которым мы могли бы прийти к такому результату. Мы бы увидели, что в этой непрерывности можно брать купюры, которые, разделяя ее, оставались бы непрерывностями; что можно разделять эти купюры другими купюрами второго порядка, которые еще остаются непрерывностями, и что пришлось бы остановиться только после купюр шестого порядка, которые уже не были бы непрерывностями. Согласно нашим определениям это значило бы, что группа перемещений имеет шесть измерений.

Это было бы легко, сказал я, но это было бы довольно длинно; и не оказалось ли бы это несколько поверхностно? Эта группа перемещений, как мы видели, родственна пространству и можно было бы вывести из нее пространство, но она не эквивалентна пространству, потому что она не имеет того же числа измерений; и когда мы покажем, как может образоваться понятие этой непрерывности и как можно вывести отсюда понятие пространства, тогда можно будет всегда спросить себя, почему пространство трех измерений нам гораздо более привычно, чем эта непрерывность шести измерений, и, следовательно, усомниться в том, что именно таким окольным путем образовалось в человеческом уме понятие пространства.

Что такое точка? Как мы узнаем, тождественны ли две точки пространства или различны? Или, другими словами, что значит, когда я говорю: «предмет A находился в момент α в точке, в которой находится предмет B в момент β».

Такова проблема, которую мы поставили перед собой в предыдущей главе, параграф 4. Как я уже выяснил, речь идет не о сравнении положений предметов A и B в абсолютном пространстве; в последнем случае вопрос, очевидно, не имел бы никакого смысла; речь идет о сравнении положений этих двух предметов относительно осей, неизменно связанных с моим телом? при этом всегда предполагается, что это тело приведено в одну и ту же позу.

Я предполагаю, что между моментами α и β я не двигал ни своего тела, ни своего глаза, о чем мне дает знать мое мускульное чувство. Я не двигал также ни головой, ни рукой, ни кистью. Я устанавливаю, что в момент α впечатления, которые приписывались мною предмету A , сообщались мне: иные – одним из волокон моего зрительного нерва, иные – одним из нервов моего пальца, передающих чувство осязания; я устанавливаю, что в момент β мне сообщились другие впечатления, которые я приписываю предмету B , одни – тем же самым волокном зрительного нерва, другие – тем же самым осязательным нервом.

Здесь мне необходимо остановиться для пояснения; откуда я узнал, что впечатление, которое я приписываю A , и впечатление, которое я приписываю В , – впечатления качественно различные – передаются мне одним и тем же нервом?

Следует ли предполагать – если взять, например, зрительные ощущения, – что A производит два одновременных ощущения, одно чисто световое a и другое цветовое a’ что B производит также одновременно световое ощущение b и цветовое b’ , что если эти различные ощущения передаются мне одним и тем же волокном сетчатки, то a тождественно с b , но что вообще цветовые ощущения a’ и b’ , произведенные различными телами, различны? В этом случае тождество ощущения а , сопровождающего a’ с ощущением b , сопровождающим b’ именно и свидетельствовало бы о том, что все эти ощущения переданы мне одним и тем же волокном.

Какова бы ни была эта гипотеза, – и хотя я склонен предпочесть ей другие, значительно более сложные, – достоверно, что мы каким-то образом узнаем, что есть нечто общее между этими ощущениями а + а’ и b + b’ , без чего у нас не было бы никаких средств узнать, что предмет B занял место предмета А .

Итак, я, не останавливаясь больше на этом, возвращаюсь к только что сделанному предположению: пусть я констатировал, что впечатления, которые я приписываю В, передаются мне в момент β теми же самыми зрительными и осязательными нервами, которыми в момент α были переданы мне впечатления, приписанные мною А . Если это так, то мы, не колеблясь, признаем, что точка нахождения B в момент β тождественна с точкой нахождения A в момент α.

Я только что высказал два условия тождественности этих точек: одно относится к зрению, другое – к осязанию. Рассмотрим их в отдельности. Первое условие необходимо, но не достаточно. Второе – сразу и необходимо и достаточно. Всякий, кто знаком с геометрией, легко истолковал бы это следующим образом. Пусть О – точка сетчатки, где в момент α образуется изображение тела A ; пусть M – точка пространства, занимаемая этим телом A в момент α; пусть W – точка пространства, занимаемая телом B в момент β. Для того чтобы это тело B образовало свое изображение в О , не необходимо, чтобы точки M и М’ совпадали: так как зрение действует на расстоянии, то достаточно, чтобы три точки О, M, М’ , лежали на прямой линии. Поэтому условие, чтобы два предмета давали свое изображение в О , есть необходимое, но не достаточное для того, чтобы точки M и М’ совпадали. Пусть теперь P есть точка, занимаемая моим пальцем, и пусть палец остается в ней неподвижным. Так как осязание не может действовать на расстоянии, то если тело A касается моего пальца в момент α, это значит, что M и P совпадают; если B касается моего пальца в момент β, это значит, что М’ и P совпадают. Следовательно, совпадают M и М’ . Поэтому-то условие, что если A касается моего пальца в момент α, то B касается его в момент β, является одновременно необходимым и достаточным для того, чтобы M и М’ совпадали.