Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Если, по установлении этих определений, непрерывность C может быть разделена купюрами, которые сами не образуют непрерывность, то эта непрерывность C имеет только одно измерение; в противном случае она имеет несколько измерений. Если для того, чтобы разделить C , достаточно купюры, образующей непрерывность одного измерения, то C будет иметь два измерения; если достаточно купюры, образующей непрерывность двух измерений, то C будет иметь три измерения, и т. д.

Благодаря этим определениям всегда можно будет узнать, сколько измерений имеет любая физическая непрерывность. Остается только найти физическую непрерывность, которая была бы, так сказать, эквивалентна пространству так, чтобы каждой точке пространства соответствовал элемент этой непрерывности и чтобы точкам пространства, очень близким друг к другу, соответствовали неразличимые элементы. Тогда пространство будет иметь столько измерений, сколько и эта непрерывность.

Переход через эту физическую непрерывность, доступную представлению, неизбежен, потому что мы не можем представить себе пространство, и это по многим основаниям. Пространство есть математическая непрерывность, оно бесконечно, а мы можем представлять себе только физические непрерывности и конечные предметы. Различные элементы пространства, которые мы называем точками, все сходны между собой, а для того чтобы применить наше определение, нам нужно уметь отличать один элемент от другого, по крайней мере если они не слишком близки. Наконец, абсолютное пространство есть бессмыслица, и нам с самого начала приходится относить его к системе осей, неизменно связанных с нашим телом (которое мы должны предполагать всегда приведенным в одно и то же положение).

Затем я постарался образовать с помощью наших зрительных ощущений эквивалентную пространству физическую непрерывность; это, без сомнения, легко, и этот пример в особенности пригоден для исследования числа измерений; это исследование дало нам возможность видеть, в какой степени можно говорить, что «визуальное пространство» имеет три измерения. Однако это решение не полно и искусственно – я уже объяснил почему, и не к визуальному, а к моторному пространству надо нам приложить свои усилия.

Потом я напомнил, каково происхождение различия, которое мы делаем между изменениями положения и изменениями состояния.

Среди изменений, происходящих в наших впечатлениях, мы различаем сначала изменения внутренние – волевые и сопровождающиеся мускульными ощущениями – и изменения внешние, характер которых противоположен.

Мы констатируем возможность того, что внешнее изменение будет исправляться внутренним изменением, которое восстанавливает начальные ощущения. Внешние изменения, которые можно исправить посредством внутреннего изменения, называются изменениями положения; внешние изменения, которые нельзя исправить таким образом, называются изменением состояния. Внутренние изменения, способные исправить внешнее изменение, называются перемещениями всего тела; прочие – изменениями позы.

Теперь пусть α и β будут два внешних изменения, α’ и β’ – два внутренних изменения. Положим, что α может быть исправлено или посредством α’, или посредством β’ и что α’ может исправить как α, так и β; тогда опыт учит нас, что и β’ может исправить β. В таком случае мы скажем, что α и β соответствуют одному и тому же перемещению, равно как α’ и β’ соответствуют одному и тому же перемещению.

Если так, то мы можем вообразить физическую непрерывность, которую мы назовем непрерывностью или группой перемещений и которую определим следующим образом. Элементами этой непрерывности будут внутренние изменения, способные исправить внешнее изменение. Два из этих внутренних изменений α’ и β’ будут рассматриваться как неразличимые; 1) если они по природе таковы, т. е. если они слишком близки друг к другу; 2) если α’ может исправить то же самое внешнее изменение, какое исправляется третьим внутренним изменением, по природе неотличимым от β’. Во втором случае они будут неразличимы, так сказать, в силу соглашения, т. е. если условимся не принимать в расчет тех обстоятельств, которые могли бы создать их различие.

Наша непрерывность теперь вполне определена, потому что мы знаем ее элементы и выяснили себе, при каких условиях они могут рассматриваться как неразличимые. Таким образом, мы имеем все, что необходимо для того, чтобы применить наше определение и определить, сколько измерений имеет эта непрерывность. Мы узнаем, что она имеет шесть измерений. Следовательно, непрерывность перемещений не эквивалентна пространству, потому что число измерений здесь другое; она только родственна пространству.