Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Окей, давайте взглянем непредвзято. Статистика — это ложь. Ей нельзя доверять. Так говорили все умнейшие люди в истории. Или нет?

К чему я клоню? Да, цифры могут лгать. Но и слова тоже — не говоря уже о картинах, жестах, хип-хоп-мюзиклах и электронных рассылках с просьбами о фандрайзинге. Наша система морали обвиняет обманщика, а не средство обмана. На мой взгляд, самые интересные критические высказывания в адрес статистики касаются не подлости статистиков, а самой математики. Мы можем повысить ценность статистики, понимая ее несовершенства, осознавая, какую цель преследует тот или иной статистический анализ — и что он намеренно оставляет за скобками. Может быть, тогда мы сможем стать ответственными гражданами, о которых мечтал Герберт Уэллс [143].

Как вычислить?Сложите все величины, которые у вас есть. Затем разделите эту сумму на количество величин.

Когда использовать?Среднее арифметическое (или среднее значение, как часто говорят) удовлетворяет основной потребности статистики: уловить центральную тенденцию совокупности величин. Каков средний рост игрока баскетбольной команды? Сколько рожков мороженого вы продаете в день? Насколько весь класс справился с контрольной работой? Если вы хотите охарактеризовать совокупность величин одним числом, то разумно в первую очередь начать со среднего арифметического.

Почему нельзя доверять?Среднее арифметическое учитывает лишь два показателя: общую сумму и количество людей, внесших свою лепту.

Если вы когда-нибудь делили пиратский клад, то осознаете опасность: есть много способов делить добычу. Сколько получает каждый? Что мы видим: баланс или перевес в чью-то пользу? Если я умял всю пиццу и ничего вам не оставил, насколько честно говорить, что в среднем мы съели по полпиццы? Вы можете сказать гостям за ужином, что у среднестатистического человека один яичник и одно яичко, но следом, возможно, повиснет неловкая пауза. (Я пробовал; так и произошло.)

Людей волнуют вопросы распределения ресурсов. Вычисляя среднее арифметическое, мы закрываем на них глаза.

Спасительная благодать заключается в том, что эта особенность упрощает вычисления. Скажем, вы сдали экзамены на 87, 88 и 96 баллов. (Да, вы царь горы в этом классе.) Чему равен ваш средний балл? Не перегревайте нейроны сложением и делением; просто перегруппируйте величины. Отнимите шесть баллов от последней оценки; прибавьте три балла к первой и два — ко второй. Теперь ваши оценки равны 90, 90, 90 плюс один дополнительный балл. Поделите этот балл на три, и, не перенапрягая извилины, вычислите свою среднюю оценку: 90⅓.

Как вычислить?Упорядочите ваши величины по возрастанию и возьмите средний элемент. Ровно половина величин будет меньше, ровно половина — больше {60} .

Когда использовать?Медиана, как и среднее арифметическое, характеризует центральную тенденцию совокупности величин. Разница в ее чувствительности к отклонениям — или скорее не чувствительности.

Возьмем, к примеру, семейный заработок [144]. В США богатая семья может зарабатывать в десятки (даже в сотни) раз больше, чем бедная. Вычисляя среднее арифметическое, мы исходим из того, что каждой семье достается равная доля совокупных доходов, и впадаем в искушение закрыть глаза на разброс величин и оказаться далеко от основного объема значений. В среднем семейный доход в США составляет около $75 000.