Джозеф Мазур - Игра случая. Математика и мифология совпадения

Сэр Фрэнсис Гальтон, английский генетик, живший в XIX в., построил такую доску со штырями, расположенными в шахматном порядке – как точки на грани игральных костей с числом 5. Гальтон хотел показать, что физические явления движутся с попутным ветром случайности. В идеальной доске Гальтона, т. е. в такой, где шарик всегда попадает ровно в центр верхней части стержней, шарик отклоняется вправо или влево так, как если бы для выбора направления кто-то подбрасывал монетку. В реальности же бабочка, взмахнувшая крыльями над Тихим океаном, или корова, пукнувшая на кукурузном поле в Айдахо, могут определять этот выбор. Перед каждым соударением результат предыдущего – это забытое прошлое; шарик уже не помнит предыдущего исхода, а потому ведет себя так, как если бы ударился о первый стержень. И все же совокупный результат, похоже, учитывает историю всех предыдущих.

Давайте рассмотрим это с точки зрения математики. Предположим, что шарик ударяется о четыре ряда стержней на пути вниз. Шанс того, что шарик пойдет после каждого удара вправо или влево, – 1 к 1, в результате чего шарики формируют под стержнями кривую в форме колокола. Подсчет числа вариантов падения шариков это доказывает. Предположим, что ход снижения брошенного шарика записывается буквами L и R, означающими отскок влево и вправо соответственно. Тогда у нас будут следующие возможные исходы:

Вариантов с разными буквами больше, чем только с одной буквой, и, поскольку шансы того, что шарик пойдет влево или вправо, равны, есть тенденция к тому, что шарики будут чаще падать в сторону центра под верхним стержнем. Причина в том, что в результате серий, скажем 12 выборов L и R (как показано на рис. 5.3), существует больше серий с шестью L и шестью R, чем любого другого числа L и R.

В результате каждого столкновения со стержнями считаем падение шарика влево как –1, а вправо – как +1. После столкновения с 12 рядами стержней шарик оказывается в одной из 12 ячеек в нижней части доски.

Так, например, шарик в крайней левой ячейке на рис. 5.3 получает совокупное значение –12. Конечное положение каждого шарика представляет отдельное совокупное значение. Шарики демонстрируют тенденцию к тому, чтобы отклоняться в центр. Однако, хотя достаточно много шариков падают в два центральных слота, большее их число оказывается в остальных слотах.

На рис. 5.3 набор шариков представляет конечное совокупное значение 140 испытаний: 31 шарик упал в пять слотов слева, 55 – в пять слотов справа и 54 – в два средних слота. Верно, что конечное положение каждого отдельного шарика ничего не говорит об истории его путешествия. Почти 60 % шариков упали вне двух центральных слотов. В общем, шарик, упавший на несколько рядов вниз и находящийся слева, может закончить свой путь справа, но так же верно и то, что, чем дальше он отклоняется влево, тем меньше у него шансов вернуться вправо.

Сегодня теория вероятностей развивается в двух направлениях: эмпирическом и абстрактном. Например, эмпирическим подходом будет использовать большие выборки, чтобы оценить вероятность, тогда как абстрактным подходом – задействовать научный принцип, чтобы зафиксировать вероятность через известные факты, такие как аргумент симметрии или физическая теория. Нам известна вероятность того, что идеальные игральные кости выпадут на 1 в силу кубической геометрии самих костей. Но вероятность выпадения 1 на обычных игральных костях может быть найдена посредством большого числа испытаний и записи числа испытаний, когда выпадает 1; эта вероятность может оказаться немного больше или меньше 1/6 – все-таки это реальные несовершенные кости.

Многое зависит от самой кости. Кости, которые входят в наборы для настольных игр, выполнены довольно грубо. Ятзи – игра в кости, появившаяся в 1950-е гг. В игре используется 5 кубиков. Если при броске все 5 костей дают одно и то же число, такая комбинация называется ятзи. Шансы выбросить ятзи – 1295 к 1. {44}Вы могли бы решить: чтобы выбросить такую комбинацию, потребуется 1296 попыток. Но если достаточно большое число людей по всему миру уделят игре хотя бы немного времени, то такая комбинация может запросто выпасть с первой попытки. Именно так думал Брэди Харан, когда попросил сотни подписчиков своего сайта попробовать выбросить ятзи и записать бросок на видео. Как вы могли догадаться, некоторые выбросили ятзи после нескольких первых попыток, а многим это удалось после нескольких сотен бросков {45}.