Джозеф Мазур - Игра случая. Математика и мифология совпадения

В XVIII в., чтобы найти вероятность события, вы бы просто посчитали отдельные случаи: вы взяли бы отношение числа желаемых исходов к числу всех возможных случаев. «Честные» кости могут выпасть одной из возможных сторон, поэтому вероятность p того, что кость выпадает конкретной стороной, – 1/6. Но Бернулли задал вопрос иначе. Он хотел его расширить, чтобы включить проблемы, касающиеся болезней и погоды, с надеждой охватить другие научные вопросы {46}.

Математиков часто приводит в восхищение величие и красота абстрактного принципа. Их увлекает красота, возникающая, когда теорию можно изящно применить к природному миру. Швейцарский математик Якоб Бернулли торжествовал, когда ему удалось доказать слабый закон больших чисел после знакомства с «Книгой об азартных играх» Кардано. Этот закон поистине удивителен, ведь он говорит нам, что, пусть природа и непредсказуема и содержит неизмеримое число компонентов и переменных, у нас все же имеются поразительно искусные способы измерить ее тайны {47}. Он дает нам удивительную возможность разобраться с неопределенностью.

Когда Якоб Бернулли умер в 1705 г., он оставил кипы неоконченных и неопубликованных рукописей своему племяннику Николаю Бернулли. В течение следующих восьми лет Николай разбирался в бумагах своего дяди и наконец опубликовал «Искусство предположений» ( Ars Conjectandi ) – революционную работу, за которой и сейчас признается новаторство в области описания важнейших понятий теории относительности. В посмертно опубликованной книге в 1713 г. применен уникальный подход, реализованный в виде примера, где говорится об урне, наполненной черными и белыми жетонами, а нам необходимо найти соотношение черных и белых, даже если мы не знаем, что в урне содержится 3000 белых жетонов и 2000 черных. Надо понимать, что существует математическая вероятность, представленная в виде отношения числа белых жетонов к числу черных жетонов. Но числа эти нам неизвестны. Как в таком случае узнать математическую вероятность? Вот план Бернулли: вы вслепую выбираете один жетон, записываете его цвет, кладете его обратно и трясете урну. Если вы повторите это действие, вслепую выбирая жетоны один за другим достаточно долгое время, то по мере увеличения числа попыток становитесь все ближе в этой таинственной математической вероятности. Предположим, например, что после 200 слепых выборок вы записали: 120 белых и 80 черных. Тогда отношение числа белых к черным составит 3 к 2. Далее, вы можете предположить, что вероятность выбрать белый – 120/200, или 3/5.

«Искусство предположений» Бернулли дает нам слабый закон больших чисел. Если подбросить правильную монету N раз в надежде, что орел выпадет k раз, теорема говорит о вероятности того, насколько близко будет отношение k / N к 1/2, математической вероятности того, что орел выпадет за одну попытку. Некоторые игроки, выдавая желаемое за действительное, полагают, будто это означает, что для больших значений N исходы событий приблизятся к вероятностям этих исходов. Таким образом, если опять использовать бросание монеты в качестве примера, заблуждающийся игрок полагает, что, поскольку p = 1/2, общее число исходов орел сойдется к общему числу исходов решка в долгосрочной перспективе. Теорема говорит только о том, что существует возможность сходимости общего результата к достоверности в долгосрочной перспективе. Нет никаких гарантий того, что это произойдет в любом из отдельных случаев. В качестве примера давайте предположим, что у нас есть игра, состоящая из N повторяющихся событий, таких как бросание монеты N раз, и мы считаем число раз, когда выпадает орел. Математическая вероятность того, что правильная монета выпадает орлом, – 1/2. Что мы увидим, подбрасывая монету в реальной жизни? Будет ли коэффициент успешности испытаний близок к 1/2, скажем, настолько близок, что будет в пределах 1/10 000? На самом деле ответа мы дать не можем, но мы можем выразиться иначе и спросить: будет ли вероятность того, что разность k / N и 1/2 меньше, чем 1/10 000, когда-нибудь больше, чем, скажем, 0,999. Теорема Бернулли говорит, что да, такое случится , если N продолжит увеличиваться со временем. Но она не исключает полностью случаев, когда разность между k / N и 1/2 больше, чем 1/10 000, даже для больших значений N . На деле, даже если коэффициент успешности испытаний k / N приближается к 1/2, нет гарантии, что он продолжит это делать. Кроме того, оказывается, что немного усиленная версия теоремы Бернулли говорит нам: хотя коэффициент успешности испытаний k / N , очевидно, сходится к 1/2, реальные значения успешности демонстрируют склонность ко все более своенравному поведению. Рассмотрим следующее удивительное утверждение: вероятность расхождения реального числа успешных испытаний с ожидаемым числом k /2 успешных испытаний (т. е. выпадения орлов) становится все больше и больше по мере увеличения числа испытаний [9]. Хотя это утверждение и противоречит нашей интуиции, но оно верно {48}. Однако оно также говорит, что в долгосрочной перспективе разность между действительным средним, которое мы получаем эмпирически после испытаний (и совершенно нам не известное до момента завершения этих испытаний), и математически вычисленным средним может быть сколь угодно малой при условии, что число испытаний N достаточно велико. Это означает, что случайные эмпирические события (не имеющие совершенно никакой памяти о каждом из исходов) имеют среднее, близкое к математически вычисленному числу!