Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

В том же 1961 г. я применил идею масштабной инвариантности к нескольким шумовым феноменам. Надо сказать, что все свои разношерстные исследования я проводил в практически полной изоляции как от физиков, так и от математиков. Однако во время моего пребывания в Гарварде в качестве приглашенного профессора (1962 – 1964), Гаррет Биркгоф указал мне на некоторые аналогии между моим подходом и теорией турбулентности, созданной Ричардсоном и выдвинутой на новые рубежи Колмогоровым [276]. Хотя я и слышал об этой теории в бытность свою студентом, не думаю, чтобы ее влияние оказалось сильнее, чем влияние философской традиции, описанной в главе 41 в разделе АРИСТОТЕЛЬ …. В любом случае все это происходило задолго до того, как физики увлеклись скейлингом!

Далее, благодаря лекциям Р. У. Стюарта по перемежаемости турбулентности, я познакомился с другой работой Колмогорова ([277], 1962). Препринты этой и моей с Бергером статьи ([21], 1963) вышли буквально друг за другом с промежутком в несколько недель! Хотя Колмогоров ставил перед собой интересную задачу, в моем распоряжении имелись более мощные инструменты, которые я, кстати, без особых усилий адаптировал к турбулентности, получив в результате материал, составивший основное содержание глав 10 и 11.

Наконец, я узнал о существовании 1/f - шумов, прочел Херста [232, 233] и Ричардсона [494] и познакомился с проблемой кластеризации галактик. И снова я убедился в том, что пониманию как нельзя лучше способствуют хорошее описание и изучение следствий из него. Напротив, те модели, что я строил раньше, показались мне теперь не более чем бесполезными украшениями, подвешенными к описанию. Они отвлекли внимание от главных геометрических идей, которые я тогда формулировал, и по сути дела препятствовали пониманию. Я же никак не мог найти в себе силы от них отказаться, даже после того, как мои работы не были приняты к публикации. Что ж, те времена давно прошли, и объяснения в главах 11 и 20 (да и во всех остальных тоже) сделаны совсем из другого теста, и я рад за них.

Вот так моя увлеченность масштабной инвариантностью, постоянно подпитываясь новым энтузиазмом и обогащаясь, благодаря сменам области исследований, новыми инструментами и идеями, постепенно подводила меня к созданию полноценной общей теории. Причем теория эта никоим образом не следовала общепринятому порядку «сверху вниз», т.е. открытие, формулировка, «приложение». Ко всеобщему удивлению (включая и меня самого) она поднималась из скромных низов ко все более высоким (я бы даже сказал, головокружительно высоким) и величественным вершинам. Первые обзоры новой теории были представлены на Международном конгрессе логики и философии науки (1964), на Трамбулловских лекциях в Йеле (1971) и в Коллеж де Франс (1973 и 1974).

Геометрический аспект этой теории масштабной инвариантности приобрел большую значимость и дорос до фрактальной геометрии. Учитывая сильный геометрический уклон первых исследований турбулентности и критических феноменов, можно было ожидать, что теория фракталов будет разработана в рамках одной из этих областей. Этого, однако, не произошло.

В наши дни весьма редкими – с стало быть, аномальными – стали случаи проникновения в большую науку свежих концепций и новых методов из всевозможных низкорентабельных ее областей. Фрактальная геометрия являет нам один из новейших примеров таких исторических аномалий.

Большую часть компьютерной графики в настоящем эссе выполнили следующие люди (перечислены в хронологическом порядке, считая по времени их первого вклада):

Зигмунд В. Хандельман,

Рихард Ф. Фосс,

Марк Р. Лафф,

В. Алан Нортон

и Дуглас М. Маккенна.

В помещенном ниже списке черно-белых иллюстраций, рядом с номером каждого рисунка (или – что то же самое – с номером страницы, на которой расположен рисунок) стоит первая буква фамилии автора компьютерной программы, с помощью которой создан этот рисунок. Иллюстрации, к которым приложили руку несколько человек, помечены соответствующим образом. Что касается цветных иллюстраций, то их мы обсуждали в другом месте.

Неоценимую и разнообразную помощь в подготовке иллюстраций оказали и другие люди, которых я также перечислю в хронологическом порядке. Хирш Левитан участвовал в создании рис. 410 и 411. Косвенное участие в подготовке некоторых рисунков принимал Джеральд Б. Лихтенбергер. Автором рис. 377 является Жан – Луи Онето, работавший с весьма новаторским графическим пакетом, разработанным Сирилом Н. Альбергой. Рис. 379 представляет собой несколько переработанную версию рисунка, созданного Артуром Аппелем и Жаном – Луи Онето. Скотт Киркпатрик предоставил нам рисунок, помещенный на с. 193, и программы, хорошо послужившие нам при подготовке рис. 312 – 315 и 424 – 427. Питер Оппенгеймер принял участие в создании изображений, помещенных на с. 247. Питер Молдейв помог с рис. 268 – 270, а Дэвид Мамфорд – с рис. 254.