Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Тригонометрия играет главную роль во всем, что касается картографии, – от строительной площадки до континентов. Точно измерить углы относительно просто, а вот оценить так же точно расстояние – иная задача, особенно для пересеченной местности. Из-за этого геодезисты начинают работу с максимально точного измерения длины базовой линии , представляющей расстояние между двумя определенными точками. Затем они строят сеть треугольников и используют величины их углов плюс тригонометрию, чтобы вычислить длины сторон. Так можно построить очень точную карту любой области. Это процесс получил название триангуляции. Для проверки точности данных после составления первой карты весь процесс может повториться с использованием другой базовой линии.

Триангуляция Южной Африки Лакайля

Приведенный здесь рисунок – не более чем пример: это знаменитая карта Южной Африки, составленная в 1751 г. известным астрономом аббатом Никола Луи де Лакайлем. Его главной целью было создание каталога звезд Южного полушария, но для получения точных результатов ему пришлось начать с измерения дуги меридиана земного шара. Для этого он провел триангуляцию для территории к северу от Кейптауна.

Его результат позволил предположить, что кривизна земного шара меньше в северных широтах, чем в южных: удивительное для того времени явление, подтвержденное дальнейшими измерениями. Земля действительно слегка напоминает по форме грушу. Каталог, составленный ученым при помощи рефракторного телескопа, оказался поразительно точным: в нем обозначено 15 из известных сейчас 88 созвездий и перечислено 10 тыс. звезд.

Мы привычноделим математику на такие самостоятельные области, как арифметика, алгебра, геометрия и т. д., но это скорее дань извечному стремлению человечества всё разложить по полкам. Ведь в математике нет строгих и непреодолимых границ между вроде бы независимыми областями, и проблема, на первый взгляд касающаяся одной сферы, может быть решена методами, изобретенными в другой. Многие великие прорывы в науке совершались именно благодаря неожиданно открытой связи между казавшимися независимыми темами.

Греческие математики проследили такие связи между теоремой Пифагора и иррациональными числами, а Архимед использовал механические аналогии и методы для определения объема шара. Истинное значение и важность таких взаимно плодотворных пересечений стали очевидны в короткий период на десять лет раньше и позже 1630 г. За этот короткий отрезок истории два выдающихся математика успели открыть важную связь между алгеброй и геометрией. Фактически они показали, что каждую из этих областей можно преобразовать в другую с помощью координат. Вся геометрия Евклида и его последователей может быть сведена к алгебраическим вычислениям. А вся алгебра может быть интерпретирована в терминах геометрии: кривых и поверхностях.

Кажется, что такие связи могут сделать одну из областей излишней. В самом деле, если всю геометрию можно заменить алгеброй, зачем она нужна? Однако каждая область имеет свою специфическую точку зрения, подчас гораздо более проницательную и плодотворную. Иногда ученому лучше мыслить геометрически, а иногда – алгебраически, чтобы решить задачу.

Первым ученым, создавшим систему координат, был Пьер де Ферм а . Он прежде всего известен благодаря своей теории чисел, но также изучал другие вопросы математики, включая вероятность, геометрию и приложение к оптике. Примерно в 1620 г. Ферма, пытаясь понять геометрию кривых линий, начал по сохранившимся до его времени крупицам сведений восстанавливать утраченный труд, названный когда-то Аполлонием «Плоские места». Закончив это, Ферма продолжил собственные изыскания, описанные им в 1629 г., но изданные только через 50 лет в книге «Введение к теории плоских и пространственных мест». Здесь он подробно рассмотрел преимущества преобразования геометрических понятий в алгебраические термины.

Свойства фокусов эллипса

Геометрическое место точек (ГМТ) определяет геометрическую фигуру как множество точек на плоскости или в пространстве, обладающих некоторым свойством. Например, мы можем искать ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Это эллипс с двумя фокусами. Это свойство эллипса было известно еще древним грекам.