Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

В 1649 г. Декарт отправилсяв Швецию, чтобы занять место наставника при королеве Кристине. Королева оказалась ранней пташкой, а Декарт не имел привычки подниматься раньше 11 часов. Необходимость вести уроки математики в пять утра, да еще в холодном сыром климате, подорвала здоровье Декарта. Через несколько месяцев он скончался от пневмонии.

Координаты работают и в трехмерном пространстве, но здесь двух значений уже недостаточно для локализации точки. А вот три достаточно. Кроме направления восток – запад или север – юг нам необходима еще и точка выше или ниже начальной. Обычно для расстояний выше нее мы используем положительное число, ниже – отрицательное. Координаты в пространстве обозначаются ( x, y, z ).

Поэтому плоскость называют двумерной, а пространство трехмерным. Число измерений зависит от того, сколько чисел нам необходимо для описания данной точки.

В трехмерном пространстве отдельное уравнение, содержащее x, y и z , обычно определяет поверхность. Например, x 2+ y 2+ z 2= 1 утверждает, что точка ( x, y, z ) всегда расположена на расстоянии в одну единицу от начальной точки. Это позволяет предположить, что она лежит на единичной сфере с центром в начальной точке.

Обратите внимание, что слово «мера» применяется здесь не в буквальном значении. Мы не пытаемся найти количество измерений пространства через что-то, называемое мерой, чтобы затем подсчитать ее. Мы определяем, сколько чисел необходимо, чтобы определить положение в пространстве, – это и будет размерностью.

Нам легче будет понять, как развивалась координатная геометрия, если познакомимся с тем, как работает современная система. Существует несколько вариантов, но все они основаны на том, что для начала на плоскость наносят две линии под названием оси . Точка их пересечения, общая точка, – начальная точка . Как правило, соблюдается такое условие: одна ось – горизонтальная, другая – вертикальная.

Вдоль каждой оси наносятся целые числа: положительные в одном направлении и отрицательные в другом. Соответственно, горизонтальная ось называется x , а вертикальная y . Символы x и y используются для представления точек с помощью соответствующих осей – это расстояния от начальной точки. Обычная точка на плоскости, на расстоянии x по горизонтальной оси и y по вертикальной, обозначается парой чисел ( x, y ). Эти числа и есть координаты точки.

Любое уравнение, содержащее x и y , накладывает ограничения на возможные точки. Например, если оно выглядит как x 2+ y 2= 1, точка ( x, y ) должна находиться на расстоянии 1 от начальной, согласно теореме Пифагора. Такие точки образуют окружность. Мы скажем, что x 2+ y 2= 1 – уравнение для этой окружности. Любое уравнение соответствует какой-то кривой на плоскости, а любая кривая соответствует уравнению.

Декартовы координаты алгебраически тесно связаны с коническими сечениями – кривыми в геометрии, которые древние греки строили как сечения двойного конуса. Алгебраически получается, что конические сечения являются следующим видом простейших кривых линий после прямых. Прямая линия описывается уравнением

ax + by + c = 0

с константами a, b и c . Коническое сечение описывается квадратным уравнением

ax 2+ bxy + cy 2+ dx + ey + f = 0

с константами a, b, c, d, e, f . Декарт отмечал этот факт, но не смог его доказать. Но он разобрал случай, основанный на теореме, которая приписывалась Паппу и давала характеристики коническим сечениям. Он сумел доказать, что там результат описывается квадратным уравнением.

Он пошел дальше и обратился к уравнениям более высокого порядка, описывая более сложные кривые, чем те, с которыми имела дело классическая греческая геометрия. Типичным примером можно считать декартов лист, задаваемый уравнением:

x 3+ y 3 – 3 axy = 0,

которое описывает петлю с двумя концами, уходящими в бесконечность.

Пожалуй, главный вклад концепции координат проявляется именно в этом: Декарт смог уйти от греческого взгляда на кривые как на объекты, построенные с помощью особых геометрических приспособлений, и увидел в них визуальное представление любой алгебраической формулы. Как заметил в 1707 г. Исаак Ньютон, «современный подход, но намного более глубокий [чем у греков], позволяет любую линию в геометрии выразить в виде уравнения».