Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

«Альмагест» Птолемея заложил основы всех последующих исследований движения планет, прежде всего позволил Иоганну Кеплеру сделать вывод об эллиптической форме их орбит. Наблюдения за движением планет осложнялись относительным движением самой Земли, неизвестным фактором во времена Птолемея. Даже если бы планеты двигались с единой скоростью и строго по окружностям, проход Земли вокруг Солнца представлял бы собой головоломную комбинацию двух отдельных круговых движений, чья точная модель выглядела бы гораздо сложнее, чем у Птолемея. По схеме эпициклов Птолемея центр одной окружности вращается по другой окружности. Эта окружность, в свою очередь, может вращаться вокруг следующей, и т. д. Геометрия равномерного движения по окружности естественно подчиняется тригонометрическим функциям, и впоследствии астрономы использовали это свойство для вычисления путей небесных тел.

Схема эпицикла. Планета P равномерно вращается вокруг точки D, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки С

Идея росла, как снежный ком. Джон Спайделл вычислил логарифмы тригонометрических функций (таких как log sin x ) и опубликовал свои «Новые логарифмы» в 1619 г. Швейцарский мастер-часовщик Йост Бюрги опубликовал свой труд о логарифмах в 1620 г. и вполне мог сам развить эту идею еще в 1588 г., задолго до Непера. Но история математики зиждется на том, что ученые успели опубликовать – буквально сделать доступным для публики, – а идеи, остававшиеся под спудом, не могли повлиять на развитие науки в целом. В итоге первенство (возможно, по праву) отдается смельчакам, которые запечатлели свои открытия в печатных трудах или по крайней мере в активной переписке (исключение составляют люди, издававшие идеи других как собственные, не имея на то права. Как правило, они остаются за кулисами).

В тесной связи с предложенной Непером версией логарифмов всегда рассматривается одно из важнейших чисел в математике, известное нам под обозначением e . Его величина приблизительно равна 2,71828. Оно получится, если мы попытаемся перейти от логарифмов к геометрической прогрессии со знаменателем чуть больше 1. Это приведет к выражению (1 + 1/ n) n, где n – очень большое целое число, и чем оно больше, тем ближе это выражение к одному определенному числу, которое мы обозначаем е .

Эта формула предполагает, что у логарифма существует натуральное основание, причем это не 10 или 2, а именно е . Натуральный логарифм числа x – это число у , которое удовлетворяет условию x = e y. Сегодня математики натуральный логарифм записывают так: y = ln x . Иногда математики обозначают основание е натурального логарифма: y = log e x , но в школьном курсе математики его обычно опускают, поскольку для высшей математики и науки важен именно натуральный логарифм. Десятичные логарифмы наиболее удобны для вычислений в десятичной системе, но в фундаментальной математике важнее натуральные.

Выражение e xназывается экспонентой x , и его по праву можно назвать одним из основополагающих понятий математики. Число e – одно из тех необычных чисел, что так любят математики, и играет огромную роль. Другим таким числом, несомненно, является π. Это верхушка айсберга – потому что есть еще много других знаменитых чисел. Их также по праву можно считать самыми важными и особенными, встречающимися повсюду на бескрайнем математическом ландшафте.

Наверное, невозможно переоценить долг человечества перед неведомыми предками, изобретшими логарифмы и тригонометрию и потратившими годы на составление численных таблиц. Их усилия обеспечили качественно иной взгляд на мир, не говоря уже о путешествиях по миру и торговле, получивших методы точной навигации и картографии. На тригонометрических вычислениях основана вся геодезия. Даже сейчас, когда геодезисты пользуются лазерными приборами и производят вычисления с помощью сверхскоростных электронных чипов, концепции построения самих лазеров и чипов уходят корнями в ту самую тригонометрию, что не давала покоя математикам древних Индии и Аравии.

Логарифмы позволили умножать любые числа быстро и точно. Двадцать лет, потраченных на составление численных таблиц одним математиком, сэкономили десятки тысяч рабочих человеко-лет его последователям, и те смогли полностью посвятить свое время трудоемкому научному анализу. Наука не смогла бы продвинуться дальше без этого метода. И невозможно подсчитать выгоду от него.