Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Исторически изобретение логарифмов шло совсем не так гладко. У его истоков стоит шотландец Джон Непер, барон Мерчистон. Он всю жизнь увлекался самыми эффективными методами вычислений и в итоге сам изобрел знаменитые палочки Непера (или кости Непера). Начиная с 1594 г. он переходит в более отвлеченную область науки, и ему потребовалось 20 лет, чтобы подготовить свой труд к публикации. Судя по всему, он начал исследования с геометрических прогрессий – последовательностей чисел, где каждое последующее является произведением предыдущего на один и тот же множитель. Например, возведение в степень числа 2:

1 2 4 8 16 32 …

или степени десятки:

1 10 100 1000 10 000 100 000 …

Уже давно было замечено, что сложение показателей степени эквивалентно перемножению степеней. Это удобно, если вы перемножаете две целые степени числа 2 или, например, две целые степени 10. Но между этими числами большой разрыв, и степени 2 или 10 не очень помогут, если придется перемножать, например, 57,681 и 29,443.

В наши дни тригонометрия прежде всего развита на плоскости, где геометрия попроще и ее принципы легче понять. Можно только удивляться, как часто новые математические идеи возникают в сложном контексте, а последующие упрощения появляются гораздо позже. Существует теорема синусов и теорема косинусов для треугольников на плоскости, и они стоят того, чтобы на них остановиться. Рассмотрим плоский треугольник с углами А, B и С и противолежащими им сторонами a, b, с.

Тогда теорема синусов имеет следующий вид:

а теорема косинусов:

a 2= b 2+ c 2− 2bc ⋅ cosA

(соответствующие формулы можно получить и для других углов). Мы можем использовать теорему косинусов для того, чтобы найти углы треугольника по его сторонам.

Стороны и углы треугольника

Пока доблестный барон упорно искал способ заполнить разрывы в геометрических прогрессиях, лейб-медик шотландского короля Якова VI Джеймс Крейг рассказал Неперу об открытии, широко известном в Дании, с громоздким названием «простаферезис». Он применялся к любому способу, который заменял умножение на сложение. Главный метод его практического применения был основан на формуле, открытой Виетом:

Имея таблицу синусов и косинусов, вы легко примените эту формулу для преобразования умножения в сложение. И хотя дело получалось хлопотное, но вычисления занимали меньше времени, чем если бы числа перемножались напрямую.

Непер ухватился за эту идею и развил ее. Он составил геометрические последовательности со знаменателем прогрессии, максимально близким к 1. Тогда вместо степеней 2 или 10 вы должны были использовать, скажем, степени 1,0000000001. Последовательность степеней такого числа очень близка и не зияет неудобными разрывами. По какой-то причине Непер выбрал знаменатель немного меньше 1, точнее, 0,9999999. Так его геометрическая последовательность обратилась назад , от б о льших чисел ко всё более малым. Фактически он начал с 10 000 000 и затем умножал его на последовательность степеней от 0,9999999. Если мы запишем Naplog x для неперовского логарифма x , получим любопытные результаты:

Naplog 10 000 000 = 0,

Naplog 9 999 999 = 1

и т. д. Так логарифмы Непера, или Naplog x , удовлетворяют уравнению

Naplog (10 7 xy ) = Naplog ( x ) + Naplog ( y ).

Вы можете использовать их для подсчетов, потому что умножать и делить на степени 10 проще, но тогда потеряете в изяществе. Но это в любом случае гораздо лучше, чем тригонометрическая формула Виета.

Очередной важный шаг вперед был сделан на встрече Непера и приехавшего к нему Генри Бригса, первого савильского профессора геометрии в Оксфордском университете.

Бригс предложил заменить идею Непера на более простую: десятичный логарифм (с основанием 10), L = log 10 x , удовлетворяющий формуле

x = 10 L.

Тогда

log 10 x y = log 10 x + log 10 y ,

и всё становится намного проще. Чтобы найти x , достаточно сложить логарифмы x и y и затем найти антилогарифм результата.

Непер скончался до того, как эти идеи получили распространение, в 1617 г., когда только-только увидела свет его «Рабдология», посвященная счетным палочкам. Его авторский способ вычисления логарифмов, «Описание удивительной таблицы логарифмов» (Mirifici Logarithmorum Canonis Decriptio), издали два года спустя. Бригс взят на себя задачу составить таблицу «бригсовских» (десятичных, с основой 10) логарифмов. Он начал с равенства log 1010 = 1 и последовательно брал квадратные корни. В 1617 г. он опубликовал таблицы Logarithmorum chilias prima («Первая тысяча логарифмов»), с 14-значными логарифмами для целых чисел от 1 до 1000. Изданный в 1624 г. труд Arithmetica logarithmica содержал таблицы десятичных 14-значных логарифмов для целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.