Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

К середине XX в.математика вступила в фазу стремительного роста благодаря ее активному применению на практике и появлению новых мощных методов. Достоверная история современной математики займет не меньше места, чем перечисление всех ее предшествовавших достижений. Остается выбрать лишь самые выразительные примеры, чтобы показать, что математики по-прежнему отличаются оригинальностью и творческим мышлением. Одной из таких тем, привлекавших пристальное внимание широкой публики в 1970–1980-х гг., является теория хаоса (так называют СМИ нелинейную динамику). Другая тема – сложные системы, требующие менее ортодоксального образа мышления и рождающие не только новые разделы математики, но и новые области науки.

Вплоть до 1960-х гг. у слова «хаос» было лишь одного значение – бесформенный беспорядок. Но с того времени открытия в фундаментальных науках и математике наделили его вторым, более отвлеченным значением: сочетание аспектов беспорядка с аспектами формы. Ньютоновские «Начала» упростили систему мира до дифференциальных уравнений, и это был детерминизм Нового времени. Подразумевалось, что если известно исходное состояние системы, ее будущее определено однозначно и навсегда. С точки зрения Ньютона, Вселенная работала как часы, приведенные в движение рукой творца и с тех пор идущие по одному неизбежному пути. Такой подход не оставлял пространства для свободы воли, и в нем могла крыться одна из причин ранних убеждений, что наука – нечто холодное и даже бесчеловечное. Но эта же точка зрения хорошо послужила человечеству, дав нам радио, телевидение, радары, мобильные телефоны, воздушные перевозки, спутники связи, искусственные волокна, пластмассы и компьютеры.

Рост научного детерминизма сопровождался смутной, но глубоко укоренившейся верой в сохранение сложности. Привычное убеждение, что простые причины должны рождать простые эффекты, предполагает, что у сложных эффектов наверняка есть не менее сложные причины. Из-за этого убеждения при взгляде на сложный объект или систему в нашем мире мы сразу начинаем гадать, откуда взялась такая сложность. В чем причины, например, сложности жизни в целом, если исходить из того, что она появилась на мертвой планете? Мы очень редко догадываемся, что сложность может появиться сама по себе, но именно это показывают нам новейшие математические методы.

Детерминированность законов физики следует из простого математического факта: для любого дифференциального уравнения с заданными начальными условиями существует не более одного решения. В романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике» суперкомпьютер Думатель на протяжении пяти миллионов ведет вычисления ради ответа на великий вопрос жизни, Вселенной и всего сущего и с триумфом получает ответ: 42. Этот эпизод – пародия на знаменитое утверждение, в котором Лаплас выразил математическую точку зрения на детерминизм.

Разум, который для какого-то данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение ее составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, объял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами.

И тут же он одной фразой обрушивает читателей с небес на землю:

Человеческий разум способен представить лишь бледную тень этого совершенного замысла, наблюдаемого в астрономии.

Ирония в том, что именно изучение небесной механики, всегда считавшейся самой детерминированной областью физики, и положило конец жесткому детерминизму Лапласа. В 1886 г. король Швеции Оскар II (правивший также в Норвегии) объявил награду за решение задачи устойчивости Солнечной системы. Будет ли наш клочок великого часового механизма Вселенной тикать вечно, либо какой-то планете суждено рухнуть на Солнце или вовсе убежать в межзвездное пространство? Любопытно, что физические законы сохранения энергии и импульса не отрицали возможности обоих вариантов, но можно ли было пролить свет на более детальное описание Солнечной системы?

Пуанкаре был твердо намерен получить эту премию, и для начала он решил упростить задачу, рассмотрев движения трех небесных тел. Уравнения для трех тел были не намного сложнее, чем для двух, и почти не отличались по форме. Однако разминка с тремя телами оказалась на поверку крепким орешком и привела к весьма тревожному открытию. Решения таких уравнений оказались совершенно не похожи на решения для двух тел. Они были настолько сложными, что для них не удавалось записать математические формулы. Более того, Пуанкаре достаточно хорошо разбирался в геометрии – а именно в топологии – этих решений, чтобы доказать без тени сомнений, что движения, представленные в этих решениях, могут время от времени становиться беспорядочными и нерегулярными. «Можно только поражаться, – писал он, – сложностью этого рисунка, который я даже не дерзаю попытаться изобразить. Ничто не может сильнее убедить нас в величайшей сложности проблемы трех тел». Сейчас эта сложность считается классическим примером хаоса.