Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

В настоящее время теория вероятностей – обширнейшая область математики, и ее прикладная ветвь, статистика, оказывает важное влияние на повседневную жизнь – возможно, более значительное, чем любой из прочих основных разделов математики. Статистика стала одним из главных аналитических методов даже в медицине. Ни одно лекарственное средство не допускается на рынок и ни один метод лечения не разрешается в больнице, пока клинические испытания не докажут их полную безопасность и эффективность. Здесь безопасность относительна: лечение может быть предложено больным, страдающим от смертельно опасного недуга, когда шансы на успех слишком малы, но не в менее тяжелых случаях.

Также теория вероятностей чаще всех прочих областей математики страдает от неверного толкования и искажений. Но ее точное и разумное применение приносит человечеству неоценимую пользу.

Некоторые вопросы из теории вероятностей уходят корнями в Античность. Из Средних веков до нас дошли записи дискуссий о шансе выбросить различные числа на двух игральных костях. Чтобы лучше представить себе, как это работает, начнем с одной кости. Предположим, она не доработана [8] Речь о том, что кость не подвергалась доработке, все грани одинаковы, ни одна не утяжелена. Прим. науч. ред. – что очень трудно доказать – и на ней шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, которые выпадают одинаково часто в конечном счете при длительной игре. В короткой игре такое равноправие невозможно: первый бросок, например, даст в результате только одно из чисел. Даже после шести бросков вы, скорее всего, не получите по одному разу каждое из чисел. Но в длинных сериях бросков, или попыток, мы вправе ожидать появления каждого числа примерно в каждом шестом броске, т. е. вероятность равна 1/ 6. Если этого не происходит, то у кости, вероятно, смещен центр тяжести.

Событие с вероятностью 1 достоверно, а с вероятностью 0 – невозможно. Все вероятности лежат между 0 и 1, и вероятность события обозначает долю в числе попыток, с которой происходит данное событие.

Вернемся к вопросу из Средних веков. Предположим, мы одновременно бросаем два кубика (как во многих играх – от костей до «Монополии»). Какова вероятность того, что сумма очков на них равна 5? По результатам вычислений с огромным числом аргументов и даже нескольких экспериментов получено число 1/ 9. Почему? Предположим, мы взяли две кости, красную и синюю. На каждой из них может независимо выпасть шесть разных чисел, итого получаем 36 возможных пар, и все с одинаковой вероятностью. Сочетания (красная + синяя), дающие 5, – 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1; это отдельные случаи, поскольку синяя кость выдает разные числа при каждом броске, как и красная. Значит, при большом количестве бросков мы ожидаем получить сумму, равную 5, в четырех случаях из 36: вероятность равна 4/36 = 1/ 9.

Другая давняя практическая проблема – как поделить ставки в азартной игре, если она по какой-то причине прервалась. Алгебраисты Возрождения Пачоли, Кардано и Тарталья оставили записи по этому вопросу. Позже шевалье де Мере задал тот же вопрос Паскалю, и тот обменялся с Ферма несколькими письмами на эту тему.

Из этих ранних работ следовал неявный вывод, какова вероятность и как ее подсчитать. Но всё это выглядело неопределенно и неубедительно.

Рабочее определение вероятности некоего события – относительное число случаев, в которых оно происходит. Если речь о кости, у которой может одинаково часто выпасть любая из шести граней, вероятность выпадения каждой грани равна 1/ 6. Более ранние работы по вероятности основаны на подсчете количества вариантов появления каждого события и делении его на общее число возможностей.

Главной проблемой здесь были сочетания. Скажем, если взять колоду из шести карт, сколько в ней будет разных подмножеств по четыре карты? Один из способов – перечислить все эти подмножества: если у нас карты с достоинством 1–6, получится:

т. е. их всего 15. Но такой метод слишком громоздкий для большего количества карт, и здесь нужно нечто более систематическое.

Представим, что мы выбираем по одному элементу из подмножества. Первый можно выбрать шестью способами, второй только пятью (один использован), третий – четырьмя, четвертый – тремя. Общее число выборов в этом порядке равно 6 × 5 × 4 × 3 = 360. Но каждое подмножество сосчитано здесь 24 раза: начав с 1234, далее мы найдем 1243, 2134 и т. д. и получим 24 способа (4 × 3 × 2) переставить четыре объекта. Значит, точный ответ будет 360/24, т. е. 15. Этот аргумент показывает, что количество способов выбрать m объектов из общего числа n объектов равно: