Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

Так "решают" вирусы сложнейшую (ее называют "изопиранной") задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые "сферические вирусы", в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.

Эта внушительная и в то же время удивительно целесообразная конструкция, состоящая из двадцати простейших одинаковых деталей — правильных треугольников — и заключающая внутри себя наибольший возможный объем, вновь наталкивает на мысль об изначальной простоте Природы. Она строит все свое богатство и разнообразие из простейших блоков. Недаром же Джон Кендрью назвал вирусы "живой архитектурой". В свете последних научных достижений платоновский четырехэлементный мир не кажется больше таким уже абсурдным. И вслед за Адельбертом Шамиссо, немецким поэтом и ученым, хочется повторить полушутливые слова: "Во мгле веков перед нашим взором блеснула истина. Она, как теорема Пифагора, до наших дней еще верна".

15

Истина эта, как стало ясно в последнее время, связана с так называемым экстремальным свойством правильных многогранников. То есть с их способностью ограничивать собою объем больший, чем любое другое тело с тем же числом граней. Или же, что то же самое, иметь наименьшую поверхность среди всех тел с тем же объемом и числом сторон. Правильные многогранники в некотором смысле самые "выгодные" фигуры. Природа пользуется этим фактом шире, чем нам думалось.

"На разных этапах развития математики вплоть до настоящего времени геометры возвращались к теории выпуклых многогранников и открывали в ней новые фундаментальные факты", — писал Лазарь Аронович Люстерник, член-корреспондент нашей Академии наук. Один из таких глубоких фактов и есть экстремальное свойство правильных многогранников. Проблема эта уходит корнями в седую древность.

...Финикийская царица Дидона отличалась невероятной прозорливостью — она предугадывала, что Марку Катону Старшему надо будет чем-то заканчивать каждую из своих речей в сенате, и ради этого решила основать Карфаген. Кроме того, Дидона была еще жадной и тщеславной, поэтому ей хотелось, чтобы новый город занимал как можно больше места на земле. Но она же вдобавок обладала хитростью и поразительной геометрической интуицией, и только благодаря этому удался ее честолюбивый замысел. В обмен на ничтожные безделушки Дидона выторговала у вождей племен, населявших север Африки, право владеть "клочком земли, который покроет воловья шкура". Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю — нет, она разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой вознамерилась огородить свое будущее владение. И тут перед ней — впервые за всю человеческую историю — встала задача, которую много веков спустя назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей?

Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее "карфагенский вариант" — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой прямую линию "побережья", — и того позже.

Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что именно круг охватывает самую большую площадь при данной длине замкнутой линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово за правильными многоугольниками: они "выгоднее" любой другой фигуры с тем же числом сторон. Так была окончательно решена задача, которой, кроме легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и Архимед. Но тут же возникла новая: а какое пространственное тело может ограничить наибольший объем при той же поверхности? Или же какую форму должна иметь наименьшая поверхность, заключающая в себе данный объем? Ответ на оба вопроса почти очевиден: шар. Но что дальше? Кто следующий претендент на решение изопиранной (так она называется) задачи?