Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

То же с фракталами. Математический фрактал не просто случайная фигура. Он имеет детальную структуру на всех масштабах увеличения. Часто – одинаковую структуру на всех масштабах. Такие формы называют самоподобными. Во фрактальной модели куста каждая ветвь состоит из меньших ветвей, которые, в свою очередь, состоят из еще более мелких ветвей, и этот процесс не имеет конца . В настоящих кустах он останавливается в лучшем случае через четыре-пять шагов. Тем не менее фрактал, как модель, лучше, чем, скажем, треугольник. Точно так же, как эллипсоид в качестве модели Земли может быть лучше, чем шар.

Мандельброт прекрасно сознавал, какую видную роль в предыстории фракталов сыграли польские математики и тот весьма абстрактный подход к анализу, геометрии и топологии, развиваемый и продвигаемый небольшим кружком математиков, многие из которых регулярно встречались в Шотландском кафе во Львове. В этот кружок входили основатель функционального анализа Стефан Банах и Станислав Улам, принимавший активное участие в Манхэттенском проекте создания атомной бомбы и предложивший, собственно, основную идею водородной бомбы. Их единомышленником являлся и Вацлав Серпинский из Варшавского университета, придумавший фигуру, которая была «одновременно канторианской и жорданианской и каждая точка которой была точкой ветвления». То есть непрерывную кривую, которая пересекает саму себя в каждой точке.

Позже Мандельброт в шутку назвал эту фигуру прокладкой из-за сходства с дырчатой прокладкой, которая устанавливается в автомобиле между головкой блока цилиндров и двигателем [31] В русской традиции этот фрактал получил название «ковер Серпинского». – Прим. пер. . Вспомним, что ковер Серпинского – представитель небольшой группы примеров, возникших в начале XX в. и известных как патологические кривые, хотя в природе, да и в математике они вовсе не патологичны – просто математикам того времени казались очень уж странными. Структуры, подобные ковру Серпинского, можно обнаружить на раковинах морских моллюсков. Так или иначе эту фигуру можно построить при помощи пошаговой процедуры на основе равностороннего треугольника. Для этого следует разделить его на четыре конгруэнтных равносторонних треугольника вполовину меньшего размера. Затем центральный треугольник – перевернутый – следует вырезать. После этого повторяем весь процесс в отношении каждого из трех оставшихся треугольников, и так до бесконечности. Ковер – это то, что получится, когда мы вырежем все перевернутые треугольники, но не их границы.

В настоящее время они считаются ранними фракталами. Мандельброт вдохновлялся ими:

Мой дядя уехал во Францию в возрасте лет примерно двадцати, этим беглецом двигала идея не политическая и не экономическая, а чисто интеллектуальная. Его отталкивала «польская математика», которую тогда Вацлав Серпинский (1882–1969) строил как воинствующе абстрактную область. По глубокой иронии, чьим работам суждено было стать для меня изобильными охотничьими угодьями, когда много позже я искал инструменты для построения фрактальной геометрии? Серпинского! Убегая от идеологии [Серпинского], мой дядя присоединился к наследникам Пуанкаре, правившим в Париже в 1920-е гг. Мои родители были не идеологическими, но экономическими и политическими беженцами; то, что они поехали к моему дяде в Париж, спасло всем нам жизнь. Я никогда не встречался с Серпинским, но его (невольное) влияние на мою семью невозможно ни с чем сравнить [32] Benoit Mandelbrot. A Maverick’s Apprenticeship, The Wolf Prizes for Physics, Imperial College Press 2002. .

Немногие математики-теоретики, которые интересовались такими понятиями, обнаружили, что степень шероховатости фрактала можно охарактеризовать числом; они назвали это число «размерностью» фрактала, поскольку оно согласуется с обычной размерностью для стандартных геометрических фигур вроде прямой, заполненного квадрата или куба, размерности которых составляют 1, 2 и 3 соответственно. Однако размерность фрактала не обязательно должна выражаться целым числом, так что интерпретация размерности как «числа независимых направлений» уже неприменима. Теперь важно, как фигура ведет себя при увеличении.

Если сделать отрезок прямой вдвое больше, его длина увеличится в 2 раза. Удвоение квадрата увеличит его площадь в 4 раза, а удвоение куба увеличит его объем в 8 раз. Эти числа – 2 1, 2 2и 2 3, то есть 2 в степени, соответствующей размерности фигуры. Если «ковер» увеличить вдвое, его можно разделить на три копии оригинала. Так что 2 в степени, равной размерности фигуры, должно равняться 3. Следовательно, размерность составляет ln 3/ln 2, то есть приблизительно 1,585. Более общее определение, не ограниченное самоподобными фракталами, называется размерностью Хаусдорфа – Бесиковича, а более практичный вариант – размерностью Минковского (рассчитывается путем подсчета клеток на чертеже). Размерность фрактала полезна в приложениях и представляет собой один из способов проверить фрактальную модель экспериментально. Таким образом, к примеру, удалось показать, что облака хорошо моделируются фракталами, причем размерность фотоизображения (с проекцией на плоскость проще работать, на ней проще проводить измерения) составляет примерно 1,35.