Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Закон Ципфа привел его к простой, но полезной (и недооцененной) идее в статистике – идее степенной зависимости. В американском английском тремя самыми употребляемыми словами являются:

the – на него приходится 7 % от общего числа слов;

of – 3,5 % от общего числа;

and – 2,8 % от общего числа.

Закон Ципфа гласит, что частота употребления n -го слова (в ряду, упорядоченном по частоте употребления) равна частоте первого слова в этом ряду, деленной на n . Здесь 7/2 = 3,5 и 7/3 = 2,3. Последнее значение ниже наблюдаемого, но это нестрогий закон, он всего лишь позволяет количественно оценить общую тенденцию. Здесь частота n -го слова в рейтинге пропорциональна 1/ n , что можно записать как n –1. Другие примеры демонстрируют аналогичные закономерности, но со степенью, не равной –1. К примеру, в 1913 г. Феликс Ауэрбах заметил, что распределение городов по размеру следует аналогичному закону, но со степенью n –1,07. В общем случае, если n -я в рейтинге величина встречается с частотой, пропорциональной n c , для некоторой постоянной c , то мы говорим о законе c -й степени.

Классическая статистика обращает мало внимания на распределения, подчиняющиеся степенному закону, и сосредоточивается в основном на нормальном распределении (знаменитой колоколовидной кривой); причин тому немало, и некоторые из них вполне резонны. Но природа зачастую пользуется не нормальным, а степенным распределением. Законы вроде закона Ципфа применимы к населению городов, числу зрителей у тех или иных наборов телепрограмм и даже к заработкам людей. Причины этого до сих пор не до конца ясны, но Мандельброт в своей диссертации сделал первые шаги к пониманию, а Вэньтянь Ли предложил статистическое объяснение: в языке, где каждая буква алфавита (плюс пробел для разделения слов) встречается в тексте с одинаковой частотой, распределение слов по частоте встречаемости подчиняется некоторому приближению к закону Ципфа. Витольд Белевич доказал, что этот принцип выполняется для множества различных статистических распределений. Собственное объяснение Ципфа состояло в том, что языки развиваются со временем так, чтобы обеспечить оптимальное понимание при минимальных усилиях (говорения и слушания), и степень –1 появляется именно поэтому.

Мандельброт публиковал статьи о распределении богатства, фондовом рынке, термодинамике, психолингвистике, длине береговых линий, турбулентности жидкости, популяционной демографии, структуре Вселенной, площади островов, статистике речных сетей, фильтровании, полимерах, броуновском движении, геофизике, случайном звуке и по другим разрозненным темам. Все это выглядело немного бессвязным. Но в 1975 г. все соединилось в одной вспышке озарения: в основе почти всех его работ лежала одна общая тема. И тема эта была геометрической.

Геометрия природных процессов не часто следует стандартным математическим моделям, в ней редко встречаются шары, конусы, цилиндры и другие гладкие поверхности. Горы изобилуют трещинами, уступами и имеют неправильную форму. Облака пушисты, в них есть вспучивания и волокнистые структуры. Деревья последовательно ветвятся, переходя от ствола к сучьям и веткам. Ветви кустов часто выглядят как множество маленьких веточек, связанных вместе противолежащими парами. Сажа под микроскопом выглядит как множество крохотных частиц с промежутками между ними. Они очень далеки от гладкой округлости шара. Природа избегает прямых линий и не слишком увлекается положениями из Евклида и текстов по математическому анализу. Мандельброт пустил в обращение название для подобных структур: фракталы . Он энергично и с большим энтузиазмом продвигал использование фракталов в науке, при моделировании многих нерегулярных природных структур.

Ключевое слово здесь «моделирование». Возможно, Земля представляется нам примерно шарообразной – эллипсоидной, если вы хотите более точного описания, – и такое представление немало помогло физикам и астрономам разобраться в таких вещах, как приливы и наклонение земной оси, но математические объекты – это лишь модели, а не сама реальность. Они отражают некоторые черты природного мира в идеализированном виде – достаточно простом, чтобы человеческий мозг способен был его анализировать. Но поверхность Земли далека от идеала: карта – не реальная местность и не должна ею быть. Карту Австралии можно сложить и положить в карман, откуда при необходимости всегда можно извлечь, но с самой Австралией невозможно проделать подобный трюк. Карта должна быть гораздо компактней территории, которую она изображает, но при этом давать об этой территории полезную информацию. Математическая сфера всегда идеально гладкая, сколько ее ни увеличивай, но реальность на атомном уровне рассыпается на квантовые частицы. Однако это не относится к гравитационному полю планеты, поэтому в данном контексте это можно и нужно игнорировать. Воду можно с успехом моделировать как бесконечно делимую среду, хотя настоящая вода становится дискретной, когда вы переходите на молекулярный уровень.