Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Именно на этом фоне Гильберт попытался завершить логический круг, доказав, что подобная аксиоматическая система логически непротиворечива (никакое доказательство не приводит к противоречию) и полна (любое осмысленное утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть). Первый момент принципиально важен, поскольку в системе, которая не является непротиворечивой, утверждение «два плюс два равно пяти» можно доказать. В самом деле, любое утверждение может быть доказано. Второй шаг отождествляет понятия «верный» и «можно доказать» и «ложный» и «нельзя доказать». Гильберт сосредоточился на аксиоматической системе для арифметики, поскольку в Principia Mathematica все в математике выводилось из нее. Продолжив мысль Кронекера, после того как Бог дал нам целые числа, в остальном человек может разобраться сам. В программе Гильберта была прописана серия шагов, которая, по его мнению, должна была привести к цели, и основывалась она на логической сложности задействованных утверждений; ему даже удалось разобраться в некоторых не слишком сложных случаях. Все это выглядело перспективно.

Я подозреваю, что Гёдель углядел в этом мероприятии что-то сомнительное с философской точки зрения. По существу, от аксиоматической системы математической логики требовалось продемонстрировать свою собственную непротиворечивость. «Непротиворечивы ли вы?» – «Разумеется, да!» Пауза. «Ну да, ну да… Почему я должен вам верить?» Как бы то ни было, скепсис, из какого бы источника он ни проистекал, заставил его доказать два потрясающих результата, названные его именем: теорему о неполноте и теорему о непротиворечивости.

Вторая из них опирается на первую. Имея в виду, что противоречивая логическая система способна доказать что угодно, можно сделать вывод, что она, вероятно, способна доказать и утверждение «эта система непротиворечива». (Разумеется, она может с тем же успехом доказать утверждение «эта система противоречива», но забудем об этом.) Итак, какую гарантию истинности может предложить подобное доказательство? Никакой. Именно это интуитивное понимание отражено в ответе «ну да, ну да…». У программы Гильберта может быть единственный способ избежать этой ловушки: возможно, утверждение «эта система непротиворечива» не имеет смысла в пределах формальной аксиоматической системы. Безусловно, это утверждение не слишком похоже на арифметику.

Ответом Гёделя было превратить его в арифметику. Любая формальная математическая система построена из символов, и доказательство (или предполагаемое доказательство) некоторого утверждения представляет собой всего лишь строку символов. Символам могут быть присвоены кодовые номера, и строке символов тоже может быть присвоен уникальный численный код. Предложенный Гёделем способ нумерации состоит в том, чтобы превратить строку кодовых чисел abcdef … в единственное число, определяемое перемножением степеней простых чисел:

2 a 3 b 5 c 7 d 11 e 13 f …

Чтобы расшифровать это число и превратить его обратно в строку, нужно воспользоваться единственностью разложения на простые множители.

Существуют и другие способы зашифровать символьную строку превращением ее в число: данный способ математически элегантен и притом совершенно непрактичен. Но Гёделю достаточно было того, что он существует.

В виде чисел он предлагал кодировать не только утверждения, но и доказательства, которые представляют собой некоторую последовательность утверждений. Логические правила вывода каждого утверждения из предыдущих накладывают ограничения на то, какие из этих чисел могут соответствовать логически верному доказательству. Так что утверждение «P есть верное доказательство утверждения S» само может рассматриваться как утверждение в арифметике: «Если расшифровать P в последовательность чисел, то последним из них будет число, соответствующее S». Гёделева система нумерации позволяет нам перейти от метаматематического утверждения о существовании некоторого доказательства к арифметическому утверждению о соответствующих числах.

Гёдель хотел проделать этот фокус с фразой «это утверждение ложно». Он не мог сделать это напрямую, поскольку это не арифметическое утверждение. Но его можно сделать арифметическим при помощи Гёделевых чисел, и тогда оно по существу превращается в утверждение «эта теорема не имеет доказательства». Есть еще кое-какие технические фокусы, которые придают всему этому смысл, но описанное выше – самая суть. Предположим, что Гильберт прав и аксиоматическая система арифметики полна. Тогда утверждение «эта теорема не имеет доказательства» либо имеет доказательство, либо нет. В том и другом случае у нас проблемы. Если у него есть доказательство, получаем противоречие. Если доказательства нет, утверждение ложно (мы ведь считаем, что Гильберт прав, помните?), так что доказательство все-таки имеется – еще одно противоречие. Значит, утверждение наше противоречит само себе… а в арифметике имеется теорема, которую невозможно ни доказать, ни опровергнуть.