Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Гёдель быстро превратил этот результат в свою теорему о непротиворечивости: если некоторое аксиоматическое описание арифметики непротиворечиво, то доказать его непротиворечивость невозможно. Это тот самый момент «ну да, ну да…» во всей его формальной красе: если бы в один прекрасный момент кто-нибудь нашел вдруг доказательство того, что арифметика непротиворечива, то мы могли бы сразу же сделать вывод о том, что на самом деле это не так.

Некоторое время Гильберт и его последователи надеялись, что теоремы Гёделя всего лишь указывают на техническую неполноценность конкретной аксиоматической системы, введенной в Principia Mathematica . Может быть, этой ловушки сможет избежать какая-нибудь альтернативная система. Но вскоре стало ясно, что та же цепочка рассуждений применима в любой аксиоматической системе, достаточно богатой, чтобы формализовать арифметику. Арифметика изначально неполна. И если она логически непротиворечива, в чем убеждено большинство математиков и что все мы принимаем за рабочую гипотезу, то доказать это невозможно. Одним ударом Гёдель умудрился целиком изменить философские взгляды человечества на математику. Ее истины не могут быть абсолютными, потому что существуют утверждения, истинность или ложность которых лежит вообще вне логической системы.

Мы в общем случае считаем, что неразрешенная гипотеза, как гипотеза Римана, к примеру, является либо верной, либо ошибочной, то есть у нее либо имеется доказательство, либо нет. После Гёделя мы вынуждены добавлять к этому третий вариант. Может быть, не существует ни логической цепочки, которая вела бы от аксиом теории множеств к гипотезе Римана, ни логической цепочки, которая вела бы от аксиом теории множеств к отрицанию гипотезы Римана. Если так, то для этой гипотезы не существует ни доказательства, ни опровержения. Большинство математиков готовы держать пари за то, что гипотеза Римана разрешима. Более того, большинство считает, что она верна и что в один прекрасный день доказательство этого будет найдено. Но если нет, то наверняка будет найден контрпример – нуль, лежащий вне критической линии. Смысл в том, что мы этого не знаем . Мы полагаем, что «разумные» теоремы могут быть либо доказаны, либо опровергнуты, а неразрешимые теоремы кажутся нам слегка надуманными и искусственными. Однако в следующей главе мы увидим, как разумный естественный вопрос в области теоретической информатики оказывается неразрешимым.

Классическая логика с ее четким разграничением истинного и ложного, без промежуточных вариантов, всегда двузначна. Открытие Гёделя позволяет предположить, что для математики лучше подошла бы трехзначная логика: истинно, ложно или неразрешимо.

По словам коллеги Тьюринга по Блетчли-парку Джека Гуда, Алан страдал сенной лихорадкой. Он ездил в контору на велосипеде, и каждый июнь вынужден был надевать респиратор, чтобы защититься от пыльцы. С велосипедом у него тоже что-то было не в порядке, и время от времени цепь слетала. Поэтому Тьюринг всегда возил с собой банку масла и тряпку, чтобы привести себя в порядок после очередной починки.

Со временем, устав от бесконечного надевания цепи, он решил подойти к проблеме рационально. Он начал подсчитывать, сколько раз успевают провернуться педали велосипеда от одной поломки до следующей. Это число оказалось замечательно стабильным. Сравнив его с числом звеньев в цепи и числом спиц в колесе велосипеда, он пришел к выводу: цепь слетает всякий раз, когда цепь и колесо находятся в некоторой определенной конфигурации. После этого он постоянно вел подсчет оборотов, чтобы заранее знать, когда цепь соберется слететь в очередной раз; тогда он предпринимал некий маневр, который позволял ему удержать цепь на месте. Ему больше не нужно было возить с собой масло и тряпку. Со временем он выяснил и подлинную причину: такой эффект давала слегка погнутая спица в сочетании с поврежденным звеном цепи.

Это был триумф рациональности, но любой другой на месте Тьюринга просто отдал бы велосипед в мастерскую, где мастер быстро обнаружил бы неисправность. С другой стороны, тем, что он этого не сделал, Тьюринг сэкономил на ремонте – и сделал так, что никто, кроме него самого, не мог ездить на его велосипеде. Как и во многих других случаях, у него были свои соображения; просто они не походили на соображения всех остальных.